Norma media de un vector de dimensión N dada por una distribución normal

Question

Estoy interesado en saber cuál es el valor esperado de la norma de un vector obtenido de una distribución gaussiana en función del número de dimensiones $N$ y $\sigma$, es decir:

$$E[\|x\|_2],\quad x\sim\mathcal{N}(0,\sigma I_N)$$

Traté de buscar esto pero no encontré nada. ¿Puedo pedirte ayuda?

Answer 1

La respuesta anterior contiene errores, como se ha señalado en los comentarios. Necesitaba derivar esto recientemente para que el resultado general sea: $$\mathbb{E}\left[||x||_2^n\right] = 2^\frac{n-2}{2}\sigma^n N \frac{\Gamma\left(\frac{N+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{N+2}{2}\right)}$$