¿Existe una forma sistemática y eficiente de encontrar relaciones entre potencias de Matrices?

Question

Hola tengo una matriz de 3 por 3 de la siguiente forma: $$ A=\begin{bmatrix} a & b & 0 \\ -b & a & c \\ 0 & -c & d \\ \end{bmatrix} $$ $$a,b,c,d\in\Re $$ Estoy tratando de explorar las relaciones especiales entre los poderes de esta matriz de la forma: $$ A^n = \alpha A^m $$ o incluso para el caso más sencillo en el que $$a=d=0$$ La motivación es utilizar uno de los casos especiales de forma cerrada para la exponencial matricial, no encontré nada hasta ahora explorando la literatura, y me pregunto si hay una manera sistemática eficiente de hacerlo.

Gracias.

Answer 1

Esta respuesta se limita al caso $a=d=0$ . Entonces se puede comprobar que $$A^3=(b^2+c^2)A$$ Así que escribir $\beta:=\sqrt{b^2+c^2}$ entonces \begin{align} e^A&=I+A+\frac{A^2}{2!}+\cdots+\frac{A^n}{n!}+\cdots\\ &=I+\left(1+\frac{\beta^2}{3!}+\frac{\beta^4}{5!}+\cdots\right)A+\left(\frac{1}{2!}+\frac{\beta^2}{4!}+\cdots\right)A^2\\ &=I+\frac{\sinh\beta}{\beta}A + \frac{\cosh\beta-1}{\beta^2}A^2\\ &=I+uA+vA^2\\ &=\begin{pmatrix}1-vb^2&ub&vbc\\-ub&1-\beta^2v&uc\\vbc&-uc&1-vc^2\end{pmatrix} \end{align}