Demuestra que la secuencia converge.
Para cada número entero positivo $n$ , dejemos que $$y_n = 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n - \int_1^n \frac{dx}x.$$
Respuestas
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Usuario no registrado
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La curva azul toma el valor $\frac1{k}$ en un intervalo $[k,k+1)$
La curva roja viene dada por $f(x) = \frac1{x}$ donde $x \in [1,\infty)$
La curva verde toma el valor $\frac1{k+1}$ en un intervalo $[k,k+1)$
El área bajo la curva azul representa la suma $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac1{k}$
El área bajo la curva roja viene dada por la integral $\displaystyle \int_{1}^{n+1} \frac{dx}{x}$
El área bajo la curva verde representa la suma $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac1{k+1}$
¿Puede formalizar ahora este argumento?
Stephan Aßmus
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16
No veo este enfoque en esta pregunta ni en la anterior. Junto con la secuencia $y_n$ como se ha definido, también definen una segunda secuencia $$ z_n = y_n - \frac{1}{n}.$$ Nota $y_1 = 1,$ mientras que $z_1 = 0.$ Así que siempre tenemos $y_n > z_n.$ Demostrar que el $y_n$ disminuyen en $n,$ mientras que el $z_n$ están aumentando en $n.$ Así, todos los $y_i$ son mayores que todas las $z_j.$ Pero $y_n - z_n = \frac{1}{n}$ se vuelve arbitrariamente pequeño.
Hice un pequeño programa en una calculadora, obtengo $y_{22} < 0.6,$ mientras que $z_7 > 0.5.$
Al volver a mirar esto, la única parte de cálculo es la prueba necesaria de que $$ \frac{1}{n+1} < \int_n^{n+1} \frac{dx}{x} < \frac{1}{n} $$ que es bastante fácil.
