Demostrar o refutar que $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac1x\right)\cos x\,dx=0$

Question

Demostrar o refutar que $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac1x\right)\cos x\, dx=0$

Mi trabajo: Si $f(x)$ es una función impar, entonces $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$

Como $\left(x+\frac1x\right)\cos x$ es impar, $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac1x\right)\cos x\, dx=0$

¿Esto está bien?

Mis objeciones:

(i) En $0$ nuestra función no está definida y (ii) $\lim_{x\to 0^+}\left(x+\frac1x\right)\cos x=\infty.$ ¡¡En esta situación podemos utilizar nuestro resultado de la función impar!!

Answer 1

Si una función $f$ no se define en $x_0$ y $x_0\in(a,b)$ entonces la integral impropia $\int_{a}^{b}f(x) \, dx$ se suele definir como $$ \lim_{t\to x_0^-}\int_{a}^{t}f(x) \, dx+\lim_{t\to x_0^+}\int_{t}^{b}f(x) \, dx \, , $$ siempre que ambos límites existan o sean infinitos, y su suma también esté definida.

En su ejemplo, $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx$ es igual a $$ \lim_{t\to 0^-}\int_{-1}^{t}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx + \lim_{t\to0^+}\int_{t}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right) \cos(x) \, dx $$ siempre que la expresión anterior esté definida. Sin embargo, resulta que la expresión anterior no está definida, por lo que $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx$ no significa cualquier cosa según la definición estándar de integrales impropias. Para demostrarlo, observamos que $$ \left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(1)\le\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) $$ para todos $x\in(0,1]$ y así $$ \lim_{t\to0^+}\int_{t}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right) \cos(1) \, dx \le \lim_{t\to0^+}\int_{t}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right) \cos(x) \, dx \, . $$ Dado que la integral impropia del lado izquierdo se evalúa como $\infty$ , también lo hace la integral impropia en el lado derecho. Por simetría, $\lim_{t\to 0^-}\int_{-1}^{t}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx=-\infty$ y como $-\infty + \infty$ es indefinido, también lo es $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx$ . Tenga en cuenta que las reglas de simetría sólo pueden aplicarse en determinados contextos. aquí . Este fue el error que cometiste.

Dicho esto, el hecho de que $\int_{-1}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx$ no tiene ningún significado según la definición estándar de integrales impropias no debería impedirte considerar otras definiciones. De hecho, la Valor principal de Cauchy de su integral es $0$ . Si declaramos explícitamente que esta definición es la que estamos utilizando, entonces es perfectamente correcto escribir $$ \int_{-1}^{1}\left(x+\frac{1}{x}\right)\cos(x) \, dx = 0 \, . $$