Muchas veces me he enfrentado a pruebas que utilizan la técnica de la teoría de grados y me interesan estas pruebas y quiero saber más sobre la potencia de esta técnica y ver más pruebas que utilizan esta técnica. Me gustaría que me mostraras tu experiencia al respecto.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Consecuencias de la teoría de los grados (3 respuestas )
Respuestas
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Connor Malin
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23
Existe una interesante demostración del teorema fundamental del álgebra utilizando la teoría de grados. Se empieza por suponer que existe un polinomio sin raíces. Entonces, dado tal polinomio $f$ se construye un campo vectorial en la esfera de Riemann tomando el pushforward del campo vectorial en el plano definido por $v(x)=1/x$ (y definiendo que es 0 en el infinito). Esto da un campo vectorial continuo si $f$ no es constante.
Se puede calcular que el grado de la singularidad en el infinito es el grado de $f$ . Dado que el grado de un campo vectorial es la característica de Euler del espacio subyacente, el grado de $f$ debe ser 2. Esto implica que los únicos polinomios no constantes sin raíces tienen que ser de grado 2. Sin embargo, tenemos la fórmula cuadrática por lo que este caso queda descartado también.
Andres Mejia
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722
Se puede demostrar el "teorema de la bola peluda" fácilmente utilizando la teoría de grados.
Dejemos que $S^n$ sea el $n$ -Esfera, $x \mapsto \vec{v}(x)$ un campo vectorial, y $f$ sea el mapa antipodal. Podemos suponer que el campo vectorial está normalizado. Entonces podemos definir $\cos(t)\vec{x}+\sin(t)\vec{v}(x)$ pour $t \in [0,\pi]$ que es una homotopía de $i$ a $-i$ . Dado que los homomorfismos inducidos son los mismos a nivel de homología, sabemos entonces que $1=deg(i)=deg(-i)=(-1)^{n+1}$ , que sólo es posible si n es impar.
