Transporte de Fermi-Walker

Question

Considere una curva cronológica \(C\) en un espacio-tiempo curvo con un vector tangente unitario \(u^\alpha\). Se dice que un vector \(v^\alpha\) es transportado de Fermi-Walker a lo largo de \(C\) si:

$$ u^\alpha\nabla_\alpha v^\beta = u^\beta A^\gamma v_\gamma - u^\gamma A^\beta v_\gamma $$ con \(A^\gamma = u^\alpha \nabla _\alpha u^\gamma\) la aceleración de \(u^\alpha\).

¿Cómo puedo demostrar que el vector tangente \(u^\alpha\) siempre es Fermi-transportado (cumple la ecuación anterior) a lo largo de \(C\) (cualquier curva cronológica)?

Solución analítica:

Primero sustituimos \(u^\mu=v^\mu\) lo cual da los siguientes términos:

LHS: $$ u^\alpha\nabla_\alpha u^\beta = A^\beta $$ RHS: $$ u^\beta A^\gamma u_\gamma-u^\gamma A^\beta u_\gamma=u^\beta u_\gamma A^\gamma+A^\beta $$ (utilizando el hecho de que \(u^\gamma u_\gamma = -1\) para vectores tangentes en una curva cronológica) $$ =u^\beta u^\alpha(\nabla_\alpha u^\gamma) u_\gamma +A^\beta $$ sustituyendo la fórmula de aceleración $$ =\frac{1}{2}u^\beta u^\alpha (\nabla_\alpha u^\gamma u_\gamma) +A^\beta $$ utilizando la regla de multiplicación para la diferenciación $$ =\frac{1}{2}u^\beta u^\alpha (\nabla_\alpha (-1)) +A^\beta=A^\beta $$ ¡Por lo tanto, el vector tangente \(u^\alpha\) siempre es transportado de Fermi!

Answer 1

Uno puede enchufar $v=u$ en la condición para el transporte de Fermi-Walker y obtener

$$u^\alpha\nabla_\alpha u^\beta = u^\beta A^\gamma u_\gamma - u^\gamma A^\beta u_\gamma$$

Observa que el lado izquierdo es exactamente $A^\beta$, luego utiliza el hecho de que $u^\alpha$ es un vector unitario tangente a una curva temporal, de manera que $u^\alpha u_\alpha = -1$, para ocuparse del segundo término en el lado derecho.

Lo único que queda por hacer es demostrar que $A^\gamma u_\gamma=0$. (Pista: comienza desde $u^\alpha u_\alpha = -1$ y toma una derivada covariante)