¿Es un vector nulo siempre linealmente dependiente?

Question

Estoy tratando de encontrar el espacio de columna de $\begin{bmatrix}a&0\\b&0\\c&0\end{bmatrix}$, que creo que es $span\left(~\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}~\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}~\right)$. Dado que por definición un espacio necesita incluir el vector nulo, esto es redundante. ¿Sería también correcto decir que esto es redundante porque $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ es linealmente dependiente de $\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$ (se puede multiplicar por un escalar de 0 para llegar al vector nulo)? ¿O es eso una aplicación incorrecta del concepto de dependencia lineal?

Answer 1

Si $\{\vec v_1,\vec v_2, \cdots, \vec v_n\}$ son linealmente independientes, $c_1 \vec v_1+c_2 \vec v_2+\cdots+c_n \vec v_n= \vec 0$ si y solo si $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$. Considerando $\vec v_n=\vec 0$, podemos obtener $c_1 \vec v_1+c_2 \vec v_2+\cdots+c_n \vec v_n= \vec 0$ estableciendo $c_1=c_2=\cdots=c_{n-1}=0$ y tomando cualquier $c_n \neq 0$. Por lo tanto, por definición, cualquier conjunto de vectores que contenga el vector cero es linealmente dependiente.

Answer 2

Es exactamente como dices: en cualquier espacio vectorial, el vector nulo pertenece al espacio generado por cualquier vector.

Answer 3

Si $S=\{v : v=(0,0)\}$ mostraremos que es linealmente dependiente. supongamos que S es linealmente independiente tal que $cv=0$. $c$ podría no ser cero, así que $S$ es linealmente dependiente.