¿Existe un buen sitio para aprender a calcular los límites de forma rigurosa?

Question

Hay un montón de afirmaciones que implican límites en el análisis real básico que no sé cómo justificar adecuadamente. Por ejemplo: $$\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x} = 0, \qquad \lim_{x \rightarrow \infty} xe^{-x} = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^3+3x-1}{2x^3-5x^2} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^3}{2x^3}$$

En realidad no sé por qué este tipo de afirmaciones son ciertas, sólo tengo la vaga sensación de que algunas funciones son más "potentes" que otras.

Además, tengo la sensación de que la notación Big-O es relevante aquí, pero nunca he conseguido aprenderla correctamente. Además, parece que tira demasiada información; si $O(x^3) = O(2x^3)$ , entonces calcular el límite anterior mediante un argumento big-O parece imposible.

Pregunta. ¿Cómo se aprende esto correctamente?

Answer 1

En el apartado 3.7 se ofrece una introducción de fácil lectura: El orden de magnitud de las funciones en R.Courants Classic Introducción al Cálculo y al Análisis, Vol. 1 .

Allí demuestra lo siguiente

• Teorema: Si $a$ es un número arbitrario mayor que uno, entonces el cociente $\frac{a^x}{x}$ tiende a infinito como $x$ aumenta.

Proporciona dos pruebas diferentes que indican explícitamente la importancia de este teorema. A partir de este teorema deduce los dos teoremas siguientes:

• La función exponencial se convierte en infinita de un orden de magnitud superior a cualquier potencia de $x$ .

• El logaritmo se convierte en infinito de un orden de magnitud inferior a cualquier potencia positiva arbitrariamente pequeña de $x$ .

Continúa:

A partir de estos resultados podemos construir funciones de un orden de magnitud muy superior al de la función exponencial y otras funciones de un orden de magnitud muy inferior al del logaritmo.

Por ejemplo, la función $e^{\left(e^x\right)}$ es de orden superior a la función exponencial, y la función $\log \log x$ es de orden inferior al logaritmo; además, podemos iterar estos procesos tantas veces como queramos, apilando los símbolos $e$ o $\log$ en la medida que nos plazca.

Junto con la sección 1.6 El límite de una secuencia que cubre algunos de sus ejemplos y la sección 1.7 Profundización en el concepto de límite debería tener prácticamente toda la información que busca.

Después de leer este material, la siguiente afirmación de la sección 9.1. Una jerarquía de Matemáticas concretas por R.L. Graham, D.E. Knuth y O. Patashnik puede resultar cada vez más familiar:

Formalizamos esto diciendo que \begin{align*} f \prec g\quad\Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=0 \end{align*} tenemos \begin{align*} 1\prec \log\log n\prec \log n\prec n^{\varepsilon}\prec n^c\prec n^{\log n}\prec c^n\prec n^n\prec c^{c^{n}} \end{align*} Aquí $\varepsilon$ y $c$ son constantes arbitrarias con $0<\varepsilon <1<c$ .

Answer 2

¿Cómo se aprende esto correctamente?

En realidad es una pregunta bastante difícil y subjetiva, porque algunos métodos de aprendizaje funcionan mejor para unos que para otros.

Mi opinión personal es que no basta con leer un libro sobre un determinado tema, sino que también hay que hacer los ejercicios. Esto puede parecer trivial para la mayoría de los lectores, pero recuerdo que como principiante es fácil pensar que "con leer es suficiente". Cuando eres capaz de probar la mayoría de los ejercicios de un libro, excepto algunos, puede valer la pena buscarlos aquí en MSE, y preguntarlos si nadie lo hizo.

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Ahora, una parte de mí lee su pregunta citada anteriormente como

¿Cómo se aprende esto con rigor?

Mizar es un asistente de pruebas que se puede utilizar para que tus pruebas sean verificadas por un ordenador, allí tienes que hacerlo de forma realmente rigurosa y no puedes marcar algo como "obvio", el verificador se quejaría. Podrías aprender Mizar y trabajar con él para aprender a buscar los detalles, si eso ayuda. La Biblioteca Matemática de Mizar ya contiene muchos teoremas relacionados con tu tema en los que podrías verificarlos con más detalle, si quieres. El inconveniente es que se necesita algún tiempo para aprender Mizar y acostumbrarse a él. La teoría de la Gran Oh-Notación comienza aquí . Los resultados incluyen $\mathcal O(\log_2 n)\subsetneq\mathcal O(\sqrt{n})$ , $\mathcal O(n\log_2 n)\subsetneq \mathcal O(n^{1+\varepsilon})$ , $\mathcal O(n^{\log_2 n})\subsetneq \mathcal O(n^\sqrt{n})$ , $k\leq m \implies \mathcal O(n^k)\subsetneq\mathcal O(n^m)$ por nombrar algunos. Mi investigación actual no tiene mucho que ver con los límites, así que me temo que no puedo ofrecer una guía de la Biblioteca Matemática Mizar en este sentido (todavía), pero al menos podría indicarte por dónde empezar a buscar.

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En una nota del sitio, con respecto a Big $\mathcal O$ -Notación: se puede definir así

$$g\in\mathcal O(f) :\iff \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=c\in\mathbb R$$

Así que obtenemos $g\prec f \iff g\in\mathcal O(f) \land f\notin\mathcal O(g)$ , si lo comparas la respuesta de Markus .