La intuición detrás de perder la mitad de un derivado a través de la traza del operador

Question

Esta es una informal pregunta, pero aquí va:

Para una función $f \in H^s(\Omega)$ ($s > 1/2$), hay una bien definida por el operador (el rastro) $T$ tal que $Tf = f\vert_{\partial \Omega}$ si $f \in C^\infty \cap H^s(\Omega)$ (para que no se está de acuerdo con la "restricción a la frontera" en el sentido clásico), y tal que $Tf \in H^{s - 1/2}(\Omega)$ (de modo que 'perdemos la mitad de un "derivado" cuando se toma la traza).

Mi pregunta es esta: ¿por qué la mitad de un derivado? Si esto es sólo un resultado técnico resultado de una interpolación teorema (o similar), entonces que así sea, pero hay una buena intuición detrás de esto?

Answer 1

De baja tecnología ilustración (copiada de los comentarios):

Tomar una dimensión de la situación: qué bien debe de $f(x)=\sum c_n e^{inx}$, de modo que se puede restringir a un punto, es decir, evaluar? Queremos que la serie $\sum |c_n|$ a converger. En términos de $f\in H^s$, esto está garantizado si $s>1/2$, debido a que por Cauchy-Schwarz $$\left(\sum|c_n|\right)^2 \le \sum (1+n^2)^{-s} \sum (1+n^{2})^s|c_n|^2 =C \|f\|_{H^s} \tag1$$ Con el fin de hacer de Cauchy-Schwarz trabajo, necesitamos $|c_n|^2$ a ser summable con el factor de $n$ (más un poco), lo que se traduce en la mitad de derivados.

Más en general, de tecnología de nivel medio de la explicación. La razón por la que tenemos para perder la mitad de derivados, cuando la restricción es que podemos ganar la mitad de derivados, cuando se extiende. Tomar extensión a la mitad-spae por la simplicidad. Dado $g$ definido en $\mathbb R^{n-1}$ (por simplicidad, de forma compacta compatible), una forma natural de extender a la mitad el espacio a través de promedio: para$x\in\mathbb R^{n-1}$$t>0$, vamos $$f(x,t)=\frac{1}{t^{n-1}}\int \varphi((x-y)/t) g(y)\,dy\tag2$$ donde $\varphi$ es algunos mollifier. Supongamos que queremos $f\in H^1$. La diferenciación $f$ y el sudor a través de las estimaciones que tenemos algo como $$\int_{\mathbb R^n_+}|\nabla f|^2\le C\sum_{k=1}^{n-1}\int_0^\infty \frac{dt}{t^2} \int_{\mathbb R^{n-1}}|g(y+te_k)-g(y)|^2\,dy \tag3$$ donde a la derecha tenemos $B^{1/2,2}$-norma de $g$, lo que es lo mismo que $H^{1/2}$.