Tengo una pregunta sobre la prueba del principio variacional, ver más abajo. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!
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¿Cómo se deduce de la coercitividad que $(x_k)_k$ ¿está acotado?
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¿Por qué es $\alpha_0 > - \infty$ ?
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Requisitos previos
Dejemos que $(X, || · ||_X )$ un espacio vectorial real normado, $\, M \subset X$ , $\, F : M \rightarrow \mathbb R.$
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Teorema. (Eberlein-Šmulyan) Dejemos que $X$ ser reflexivo, $(x_k)_{k \in \mathbb N} \subset X$ limitado. Entonces existe $x \in X$ y una subsecuencia $\Lambda \subset \mathbb N$ con $$ x_k \overset{w}{\rightarrow} x \quad (\text{for } \, k , \, k \in \Lambda) .$$
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Definición. La función $F$ es débilmente secuencialmente semicontinuo inferior (w.s.l.s.c.) en $x_0 \in M$ , si $\forall \, (x_k)_{k\in \mathbb N} \subset M$ con $x_k \overset{w}{\rightarrow} x_0$ (para $k \rightarrow \infty$ ) se mantiene
$$F(x_0) \liminf_{k \rightarrow \infty} F(x_k).$$
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Definición. $F$ se denomina coercitivo en $M$ con respecto a $||·||_X$ , si para $x \in M$ $$F(x) \rightarrow \infty, \quad (\text{for} \, ||x||_X \rightarrow \infty).$$
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Pregunta real
Teorema. (Principio Variacional) Dejemos que $X$ ser reflexivo, $M \subset X$ no vacía y débilmente cerrada secuencialmente, $F : M \rightarrow R$ coercitiva y w.s.l.s.c.. Entonces existe $x_0 \in M$ con $$F(x_0) = \inf_{xM} F(x).$$
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Prueba. Consideremos una secuencia mínima $(x_k)_{k \mathbb N} \subset M$ con $$F(x_k) \inf_{x \in M} F(x)=:_0 , \quad (\text{for } k).$$
Desde $F$ es coercitivo, $(x_k)_{k \in \mathbb N}$ está acotado . (¿Por qué?) Por el teorema de Eberlein-Šmulyan $(x_k)_{k \in \mathbb N}$ tiene un subsecuencia débilmente convergente $x_k \overset{w}{\rightarrow} x_0$ $($ para $k , k )$ . Desde $M$ es débilmente cerrada secuencialmente, se deduce que $x_0 M$ y $$F(x_0) \liminf_{k, \, k} F(x_k) = _0$$ desde $F$ es w.s.l.s.c., en particular tenemos $_0 > .$
