Hallar la ecuación de la circunferencia que corta al círculo $x^2+y^2+2x+4y-4=0\;$ y las líneas $xy-2x-y+2=0\;$ ortogonalmente

Question

La ecuación del círculo que corta al círculo $x^2+y^2+2x+4y-4=0\quad$ y las líneas $xy-2x-y+2=0\quad$ ortogonalmente, es
$a.\quad x^2+y^2-2x-4y-6=0\;$
$b.\quad x^2+y^2-2x-4y+6=0\;$
$c.\quad x^2+y^2-2x-4y+12=0\;$
$d.\quad$ (no es posible determinarlo.)
Sea la ecuación del círculo $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\quad$ . Como esto es la intersección del círculo $x^2+y^2+2x+4y-4=0\quad$ ortogonalmente, por lo que $2g+4f=c-4\;$ utilizando la condición de ortogonalidad de los círculos de Terri $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2\;$ La segunda ecuación es una ecuación de par de rectas, $(x-1)(y-2)=0\quad$ Pero no sé cuál es la condición de ortogonalidad de una circunferencia y un par de rectas. No soy capaz de resolverlo. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

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Que dos figuras sean ortogonales entre sí significa que en cada uno de sus puntos de intersección sus pendientes son perpendiculares. En términos de geometría analítica, esto significaría que la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra, es decir, el producto de las dos pendientes en la intersección es igual a $-1\;$ .

$xy-2x-y+2=0\;$ son realmente las dos líneas $x=1$ y $y=2\;$ . Por lo tanto, cualquier círculo ortogonal a las dos líneas debe estar centrado en $A(1\mid 2)\;$ .
Las dos tangentes de $A\;$ al círculo $B\equiv[x^2+y^2+2x+4y-4=0]\;$ se puede construir dibujando el círculo cuyo diámetro es la línea que une el centro del círculo dado $C(-1\mid -2)\;$ a $A\;$ . La ecuación de este nuevo círculo es $D\equiv[x^2+y^2=5]\;$ . Las dos intersecciones $E_1\left(\frac{-1-6\sqrt{11}}{10}\mid\frac{-2+3\sqrt{11}}{10}\right)\;$ y $E_2\left(\frac{-1+6\sqrt{11}}{10}\mid\frac{-2-3\sqrt{11}}{10}\right)\;$ de los dos círculos $B\;$ y $D\;$ son los puntos de tangencia.
Su círculo requerido $[(x-1)^2+(y-2)^2=11]\;$ centrado, según se requiera, en $A\;$ , pasa a través de $E_1\;$ y $E_2\;$ .

Ah, por cierto, del menú de opciones que has proporcionado, la opción adecuada es $a.$

Answer 2

Las soluciones reales vienen dadas por:

$$ \begin{cases} x^2+y^2+2x+4y-4=0 \\ xy-2x-y+2=0 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x^2+y^2+2x+4y-4=0 \\ 2+x(y-2)-y=0 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x^2+y^2+2x+4y-4=0 \\ (x-1)(y-2)=0 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x^2+y^2+2x+4y-4=0 \\ x-1=0 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} x^2+y^2+2x+4y-4=0 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} 1^2+y^2+2\cdot 1+4y-4=0 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} 1+y^2+2+4y-4=0 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} y^2+4y-1=0 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} y^2+4y=1 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} y^2+4y+4=5 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} (y+2)^2=5 \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} y+2=\pm\sqrt{5} \\ x=1 \end{cases}\Longleftrightarrow $$

$$ \begin{cases} y=\pm\sqrt{5}-2 \\ x=1 \end{cases} $$