En mi opinión, la pregunta es completamente arbitraria. No hay ninguna razón para esperar relaciones entre la dinámica de $f$ y la de su derivado. Su relación cambiará incluso bajo la conjugación afín.
Dicho esto, la respuesta a la pregunta es positiva en el sentido de que dicha función $f$ sí existe; es decir, la conjetura que se discute en los comentarios de la pregunta es falsa.
De hecho, para un contraejemplo considere $\newcommand{\eps}{\varepsilon}f(z)=\eps e^{-z}$ . Entonces $f'(z) = -\eps e^{-z}=-f(z)$ . Para un tamaño suficientemente pequeño $\eps$ el semiplano derecho $H_R$ pertenece a la cuenca de atracción de un punto fijo atrayente, para ambos mapas. Por lo tanto, los conjuntos Julia están ambos contenidos en el semiplano izquierdo $H_L$ . Sin embargo, claramente $f^{-1}(H_L)\cap(f')^{-1}(H_L)=f^{-1}(H_L)\cap f^{-1}(H_R)=\emptyset$ . Por lo tanto, $J(f)\cap J(f')=\emptyset$ . En particular, también $I(f)\cap I(f')=\emptyset$ .
EDITAR: Si está dispuesto a dejar $f$ sea un polinomio, entonces aquí hay un ejemplo aún más simple. Tomemos $f(z)=z^3/3 + c$ . Entonces $f'(z)=z^2$ Así que $J(f')$ es el círculo unitario. Para los grandes $c$ claramente el disco unitario cerrado pertenece a la cuenca de $\infty$ de $f$ y, por tanto, no se cruza con $J(f)$ . (Un simple cálculo muestra que $c=4$ será suficiente).
Por supuesto, el mismo argumento servirá para cualquier de la forma $f(z)=p(z)+c$ con $p$ un polinomio fijo de grado mínimo $3$ . (Esta última suposición está ahí para garantizar que la dinámica de $f'$ no es trivial).
