¿Puedes darme algunos ejemplos concretos de magmas?

Question

He visto lo siguiente (por ejemplo, aquí):

He aprendido un poco sobre grupos y podría dar ejemplos de grupos, pero al leer la tabla dada, no podía imaginarme qué sería un magma. No tiene asociatividad, identidad, divisibilidad ni conmutatividad. No puedo imaginar qué podría ser eso. ¿Puedes darme un ejemplo concreto de un magma?

Answer 1

Un magma ("estricto") que probablemente hayas escuchado es el producto cruzado de vectores en $\Bbb R^3$: $$ (a, b, c)\times(x, y, z) = (bz - cy, cx - az, ay - bx) $$ $\Bbb R^3$ está cerrado bajo esta operación, pero no tiene ni asociatividad, ni conmutatividad, ni identidad, ni divisibilidad.

De alguna manera, de la misma manera en que cualquier cuadrado, cualquier rectángulo y cualquier paralelogramo cumplen los criterios de un trapecio, y por lo tanto son trapecios, decimos que cualquier grupo, monoide o semigrupo también es un magma. Todo lo que exigimos de la estructura para llamarla un magma es que esté cerrada bajo la operación binaria.

Y al igual que cualquier trapecio en el que todos los ángulos resulten ser rectos sigue siendo un trapecio aunque la mayoría de la gente lo llamaría un rectángulo, de la misma manera cualquier estructura algebraica cerrada/total con asociatividad, identidad y divisibilidad será un magma, aunque la mayoría de la gente lo llamaría un grupo.

Answer 2

Un magma es simplemente un conjunto $X$ junto con una operación binaria en $X$, es decir, una función $X\times X\to X$. ¡Cualquier función de ese tipo servirá!

Por ejemplo, podríamos definir una operación binaria en $X=\mathbb R$ como

$$x\cdot y = xy+x^2-y.$$

Answer 3

Mi ejemplo favorito: la operación $*$ en los enteros impares con $a * b = (3a + b) / 2^k$ donde $2^k$ es la potencia más alta de $2$ que divide a $3a + b$. Con esta notación, la conjetura de Collatz se puede reformular:

Para todos los enteros impares $k$, ¿existe un $n$ tal que $$ \underbrace{\Big(\big(((k * 1) * 1) * \cdots \big) * 1\Big) * 1}_{n \text{ unos}} = 1? $$

Tal vez esto arroje poco luz sobre la resolución del problema, pero al menos proporciona un marco en el que la conjetura tiene sentido. El comportamiento impredecible y no asociativo de esta operación $*$ es una forma de entender por qué el problema de Collatz es tan difícil.

Answer 4

Como han señalado otras personas antes, deberías prestar atención a la definición de magmas: no requiere que la operación satisfaga ninguna propiedad (asociatividad, existencia de identidad, etc.) pero tampoco requiere que las operaciones tengan que cumplir las propiedades de no asociatividad o no identidad.

De todas formas, aquí tienes un ejemplo de un magma que no satisface la asociatividad (ni la existencia de identidad).

Sea $X$ el conjunto de árboles binarios planares finitos. Dados dos árboles $a$ y $b$, entonces podemos formar el árbol $a \cdot b$ obtenido de la unión de los dos árboles añadiendo una nueva raíz.

Esta operación se ilustra bien con las siguientes imágenes: debería tomar dos árboles como

y devolver un árbol como el siguiente

Por supuesto, esta es una operación binaria y la no asociatividad se puede demostrar dibujando algunos árboles. La no existencia de identidad se sigue del hecho de que cualquiera sean los árboles que compongas mediante esta operación, el árbol compuesto tiene una profundidad estrictamente mayor que ambos árboles de entrada.

Espero que esto ayude.

Answer 5

La tabla Cayley $$\begin{array}{c|ccc} \ast & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{array}$$ representa un grupoide o magma finito de orden $3$ sobre el conjunto $\{0,1,2\}$. No es conmutativo, ni asociativo; no tiene cancelación (izquierda ni derecha), por lo tanto no hay división; no tiene identidad. Años luz lejos de ser un buen grupo.

Este libro contiene muchos más ejemplos de tablas Cayley de grupoide finítos: como sabes, una operación (función) $\ast$ puede estar bien definida tanto por una expresión como

$$a\ast b:=a+2b$$

o por la tabla (finita) con el conjunto completo de valores.

Si estás buscando ejemplos de grupoide puros, puede valer la pena dedicar algo de atención a las estructuras finitas en particular.

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El conjunto $\mathbb{R}^+$ de números reales positivos con la operación de exponenciación $a^b$ es un ejemplo de grupoide "estricto" no finito utilizado por R.H. Bruck en su artículo ¿Qué es un bucle? (1963).

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Otros ejemplos de magmas sobre $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{C}$ que no son semigrupos ni cuasigrupos están incluidos en este artículo (Sobre las congruencias de grupoide estrechamente relacionadas con cuasigrupos) de Shcherbacov, Tabarov, Puscasu (2009). Sería mejor buscar una vista previa gratuita de dos páginas.