$\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$ Demuestra que existe $U, V$ matrices invertibles tales que: $A = UBV$

Question

$\DeclareMathOperator{\rank}{rank}$$ |DeclareMathOperator{{Mat}{Mat}$ Dadas dos matrices $A, B \in \Mat_{m \times n}$ , como $\rank(A) = \rank(B)$ .

Demuestra que existen dos matrices invertibles: $$U \in \Mat_{m \times m}, V \in \Mat_{n \times n}$$

tal que: $$A = UBV$$

Mi intento: esta pregunta consiste esencialmente en demostrar que multiplicar una matriz del lado izquierdo equivale a realizar operaciones sobre las filas, y multiplicar una matriz del lado derecho equivale a realizar operaciones sobre las columnas.

No sé cómo probar esto - así que traté de usar mapas lineales y para demostrar que el uso de mapas lineales, que era tan eficaz - ya que esto no "demuestra" que para cada $A, B$ con igual rango, existe $U, V$ para que $A = UBV$ .

Answer 1

Mapas lineales facilitar esto (en mi opinión).

Como $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ los subespacios "columna" $A(\mathbb{R}^n)$ y $B(\mathbb{R}^n)$ tienen la misma dimensión. Sea $U$ sea cualquier isomorfismo lineal de $A(\mathbb{R}^n)$ a $B(\mathbb{R}^n)$ . Ampliar $U$ a un isomorfismo lineal de $\mathbb{R}^m$ .

Ahora dejemos que $v_1,\ldots,v_k\in\mathbb{R}^n$ tal que $Av_1,\ldots,Av_k$ forman una base para $A(\mathbb{R}^n)$ . Entonces $UAv_1,\ldots,UAv_k$ forman una base para $B(\mathbb{R}^n)$ . Elija $w_1,\ldots,w_k\in\mathbb{R}^n$ tal que $Bw_i=UAv_i$ .

Ambos $\ker(A)$ y $\ker(B)$ tienen dimensión $n-\dim(\operatorname{rank}(A))=n-k$ . Sea $v_{k+1},\ldots,v_n$ sea una base para $\ker(A)$ y $w_{k+1},\ldots,w_n$ sea una base para $\ker(B)$ . Entonces $\left\{v_1,\ldots,v_n\right\}$ y $\left\{w_1,\ldots,w_n\right\}$ son bases de $\mathbb{R}^n$ . Definir un isomorfismo lineal $V:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ sobre la base de $Av_i=w_i$ . Entonces $A=U^{-1}BV$ .

Answer 2

Si $r$ es el rango común, empujando un poco más el RREF se consigue que haya invertibilidades $U_{1}, V_{1}$ tal que $$ U_{1} A V_{1} = C_{r} = \begin{bmatrix} 1 \\ & 1\\ &&&\ddots\\ &&&&1\\ &&&&&0\\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&&0& \dots\\ \end{bmatrix}, $$ donde hay $r$ los en $C_{r}$ y las entradas sin nombre son cero.

Del mismo modo, existen invertibilidades $U_{2}, V_{2}$ tal que $$ U_{2} B V_{2} = C_{r}. $$

Ahora las dos expresiones son iguales, por lo que...

Answer 3

Pista: demostrar que cualquier matriz $A$ de rango $r$ puede transformarse en $$ A=U\begin{bmatrix}I_r & 0\\0 & 0\end{bmatrix}V $$ por invertible $U$ , $V$ . (Una forma de hacerlo rápidamente es la SVD).