Cómo el paso de elevar al cuadrado las desviaciones en la Desviación Estándar supera el inconveniente de ignorar los signos de la desviación media.

Question

$$\text{Mean deviation from mean}=\frac1N\sum_{i=1}^nf_i|x_i-\bar x|$$ y $$\text{Standard Deviation ($ |sigma $)}=\sqrt{\frac1N\sum_{i=1}^nf_i(x_i-\bar x)^2}$$ El paso de elevar al cuadrado las desviaciones en SD supera el inconveniente de ignorar los signos de la desviación media.

¿Cómo se supera el problema? También en la SD ignoramos los signos al cuadrar, ¿no es así?

Answer 1

La razón principal del uso generalizado de la desviación media cuadrática en lugar de la desviación media absoluta es que si las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ son independientes, entonces $$ \operatorname{var}(X_1+\cdots+X_n)=\operatorname{var}(X_1)+\cdots+\operatorname{var}(X_n). $$ Esto permite relacionar la dispersión de la suma, y por tanto de la media, de los miembros de una muestra con la dispersión en la población de la que se ha tomado la muestra, y en concreto, no tendríamos teorema del límite central si no fuera así. Sin el teorema del límite central, no estaría justificado el método habitual de hallar un intervalo de confianza para una media poblacional.

Quien te haya dicho que el motivo es superar un supuesto inconveniente de ignorar las señales probablemente se haya confundido.