Entiendo todos los momentos bseides $(1)$ y $(2)$ . Por qué Rudin considera $\inf U(P,f)$ y $\sup L(P,f)$ . Por qué no podemos considerar $\sup U(P,f)$ y $\inf L(P,f)$ ?
¿Puede alguien explicármelo, por favor?
Respuesta
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Esto se reduce al hecho de que si $P'\supseteq P$ entonces $U(P',f)\le U(P,f)$ . Por tanto, cuanto más fina sea la partición de $[a,b]$ cuanto menor sea el valor de $U(P,f)$ .
La idea en la integración de Riemann es aproximar $\int_a^b$ tomando particiones cada vez más finas de $[a,b]$ . Así que los valores $(P,f)$ acercarse a $\int_a^b$ haciéndose cada vez más pequeño.
Así que, si dejamos que $\overline\int=\sup$ y $\underline\int=\inf$ la integral tendría pocas posibilidades de converger.
