Problemas con el uso de la lógica para estudiar la lógica

Question

¿Utilizar la lógica como herramienta para estudiar la propia lógica conduce a problemas/paradojas? Del mismo modo que las oraciones autorreferentes a veces no tienen sentido, por ejemplo Esta afirmación es falsa .

Cuando intentamos estudiar la lógica, utilizamos la lógica para llegar a conclusiones sobre ella misma. ¿No es algo circular?

Answer 1

Normalmente, los matemáticos y los lógicos adoptan la siguiente actitud: Cuando exponemos los detalles de la lógica formal, adoptamos implícitamente en el fondo una meta -lógica. La metalógica es la lógica que utilizamos en inglés es la forma en que razonamos sobre las cosas como matemáticos, como humanos, etc., y la esperanza, entonces, es que nuestro formal teoría de la lógica (expuesta en un formal idioma, no el inglés) se emparejar con la metalógica que estamos utilizando ( en inglés ). Así que sí, si bien es cierto que estamos utilizando la lógica para establecer los detalles formales de un teoría de lógica, aún así la esperanza es que el teoría de la lógica representa con exactitud la forma en que utilizamos la lógica en el fondo.

Esto, por supuesto, requiere admitir desde el principio qué tipo de lógica estás empleando como metalógica. Una clara manifestación de ello se produce al definir qué son las distintas conectivas formales $\wedge, \vee, \neg$ etc. A menudo, daremos una definición inductiva como sigue:

$\mathcal{M} \vDash \varphi \vee \psi$ si y sólo si $\mathcal{M} \vDash \varphi$ o $\mathcal{M} \vDash \psi$

Esto puede parecer bastante inocente, hasta que nos preguntamos qué significa el " o... o... "de la definición. ¿Se trata de una disyunción clásica, de una disyunción inicional o de ninguna de las dos? Sin duda, las respuestas a estas preguntas afectarán a nuestra comprensión de la definición dada. Del mismo modo, cuando escribimos

$\mathcal{M} \vDash \neg\varphi$ si y sólo si no se da el caso de que $\mathcal{M} \vDash \varphi$

¿cómo debemos entender la negación inglesa " no es el caso que... "? Si nuestra metalógica es la lógica clásica, entonces la negación es clásica; pero diferentes elecciones de metalógica reflejarán una diferencia en nuestra comprensión de estas definiciones.

Hay mucha literatura filosófica en torno a este punto. Por ejemplo, realmente ocupa el centro del campo en ciertas lógicas no clásicas, e.g. lógica pertinente donde las personas que trabajan en este campo suelen desear que sus teorías lógicas sean "tomadas en serio" como auténtico lógica (es decir, la lógica que utilizamos y/o deberíamos utilizar en inglés ). Hay teoremas sobre la teoría formal de la lógica relevante (por ejemplo, la admisibilidad de la distribución) para los que existe una clásico prueba pero no una relevante prueba (o más bien, existe una prueba pertinente de la clásico admisibilidad, pero ninguna prueba de la relevante admisibilidad). Así pues, sea cual sea la metalógica que se adopte para describir una teoría formal de la relevante la lógica se vuelve crucial. En general, qué metalógica se adopta, así como que lógica formal que uno desea estudiar, puede afectar a los resultados que se pueden obtener en sus búsquedas (los lógicos intuicionistas también se han preocupado especialmente por esta cuestión).

La mayoría de las veces, para el matemático basta con adoptar una metalógica clásica, ¡pues incluso entonces hay mucho que decir sobre la teoría formal de la lógica!

Answer 2

Utilizamos el pensamiento matemático ordinario para estudiar ciertos objetos matemáticos, como las llamadas pruebas en ciertos sistemas formales. O bien estudiamos, en Teoría de Modelos, la relación entre estructuras algebraicas y ciertos tipos de cadenas llamadas fórmulas.

Esto no es diferente de utilizar el pensamiento matemático para estudiar los anillos. En particular, no hay regresión de un paso, y mucho menos regresión infinita.

Añadido: Por ejemplo, cuando estudiamos la aritmética de Peano (de primer orden), sólo estamos estudiando indirectamente los números naturales. En principio, estamos descubriendo propiedades de un sistema axiomático que tiene muchos modelos no isomorfos a los números naturales. * Al mostrar la incompletitud de la aritmética de Peano, estamos estudiando qué tipo de cadenas pueden obtenerse como fórmulas finales en ciertos objetos sintácticos llamados pruebas formales.

Muchas, si no la mayoría, de las personas que trabajan en Lógica Matemática cree no sin razón, que los resultados técnicos arrojen algo de luz sobre el pensamiento matemático. Sin embargo, se trata de una cuestión de creencias. En cualquier caso, los resultados técnicos se mantienen.

Answer 3

Cuando estudiamos lógica, ¿no es cierto que nos imponemos ciertos axiomas y reglas que seguimos, y a partir de ellos concluimos otras cosas? No decimos simplemente "Una vez no había nada, y luego.... LÓGICA".

Sin embargo, en cuanto a la pregunta que haces... Entiendo esto desde un punto de vista histórico más de lo que sé acerca de los detalles matemáticos, pero Hilbert trató de demostrar la consistencia de las matemáticas utilizando nada más que los axiomas de las matemáticas a principios de los años 30 (como parte de toda la guerra matemática constructivista vs intuicionista que estaba de moda). Fue un gran éxito en su momento, pero se vino abajo cuando los teoremas de incompletitud de Godel demostraron que es imposible demostrar la consistencia de cualquier sistema formal desde el interior de ese sistema. Y creo que aquí es donde entra tu ejemplo "Esta frase es falsa". Puede leer más en http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems