¿Cómo derivar la relación Manley-Rowe para el proceso de generación de segundos armónicos?

Question

Derivar la relación de Manley-Rowe para el proceso de generación de los segundos armónicos.

Relación Manley-Rowe : ~ Las relaciones de Manley-Rowe son expresiones matemáticas desarrolladas originalmente para los ingenieros eléctricos para predecir la cantidad de energía en una onda que tiene múltiples frecuencias.

Generación de segundos armónicos : ~ La generación de segundo armónico (SHG); también llamada duplicación de frecuencia; es un proceso óptico no lineal, en el que los fotones que interactúan con un material no lineal se "combinan" de forma efectiva para formar nuevos fotones con el doble de energía y, por tanto, con el doble de frecuencia y la mitad de longitud de onda que los fotones iniciales. Es un ejemplo de fenómeno no lineal (I, 3). En el proceso SHG, la onda intensa a la frecuencia $\omega$ se propaga en el medio con una no linealidad de segundo orden ( VI, 1).

Answer 1

La relación Manley-Rowe surge de la conservación de la energía y el momento. Para el caso de la SHG, la presencia del material óptico no lineal (NLO) elimina la conservación del momento (cualquier diferencia de momento entre los fotones iniciales y finales puede ser proporcionada por el material en bruto). Así que lo que queda es la conservación de la energía.

Dejemos que $N_\omega$ y $N_{2\omega}$ sea el número de la frecuencia fundamental y del segundo armónico. Normalmente la gente de NLO se preocupa por cómo cambian este tipo de cosas con la distancia que la onda se mueve a través del material. Así que dejemos que la dirección de propagación sea $x$ . Entonces, por la conservación de la energía:
$$2\frac{dN_{\omega}(x)}{dx} + \frac{dN_{2\omega}(x)}{dx} = 0.$$ Esto se desprende de $E=\hbar\omega$ . Es decir, se necesitan dos de los $\omega$ fotones para proporcionar la energía en una $2\omega$ fotón.