Últimamente he estado pensando en un problema que me ha hecho perder la cabeza. Permítanme hacer una breve descripción del problema. Imagínese que $n$ número de personas que van a votar $m$ diferentes objetos para elegir uno de ellos. Cada persona tiene que votar por dos objetos, por lo que se espera que inicie un voto primario y otro secundario. Un voto primario corresponde a $x$ puntos, y el secundario es $y$ puntos para cada persona, pero $x$ > $y$ y $y \not = 0$ . Si un objeto reúne la mayoría de los puntos, será seleccionado. ¿Cuáles son los valores mínimos de $x$ y $y$ ¿para que las encuestas no empaten en el primer puesto? Todas las incógnitas aquí son números enteros positivos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general no hay valores de $x$ y $y$ que garantice que no haya ataduras. En particular, supongamos que $m \geq n \geq 2$ y numerar los elementos como $0, \dots, m-1$ y el pueblo como $0, \dots, n-1$ . Ahora cada persona $i$ puede emitir el voto primario al punto $i$ y el voto secundario al punto $i+1\ \mathrm{mod}\ n$ . De esta manera, cada uno de los elementos $0,\dots, n-1$ obtiene la puntuación de la votación $x+y$ y el resto de elementos $n,\dots,m-1$ obtener puntuación $0$ . No importa cuáles sean los valores de $x$ y $y$ son, la primera $n$ artículos están empatados en el primer lugar.
También se puede hacer lo mismo si $n$ es divisible por algún $2\leq k\leq m$ . Entonces podemos dividir a la gente en $k$ grupos, y que cada grupo vote como en el caso anterior. Cada elemento $0,\dots,k-1$ termina con la puntuación $\frac n k(x+y)$ .
