Es $x^5-10x^3+20x= 8.58368$ ¿se puede resolver?

Question

Este quintico tiene 5 reales raíces ¿Cómo podemos saber si se puede resolver y, en ese caso, cómo resolverlo? ¿Existe una aproximación numérica generalmente válida?

Answer 1

En general, una quíntica no puede resolverse sólo con radicales. Pero la sustitución $x\leftarrow y/10$ para llegar a $$y^5-1000 y^3+200000y = 858368$$ Primero, buscamos soluciones racionales, que deben estar entre los divisores de $858368$ . Después de un número finito de ensayos, encontramos $y=28$ ( $x=2.8$ ). El resto de soluciones se esconden en $$ y^4 + 28y^3 - 216y^2 - 6048y + 3065600=0,$$ que lamentablemente no es un factor tan fácil. Mientras que Cuartillas son solucionable por radicales Pero, por lo general, uno sigue prefiriendo recurrir a métodos numéricos para abordarlos (ya que, por lo general, un valor numérico bastante exacto le ayuda más que una expresión exacta extremadamente enrevesada).

Answer 2

Una pista:

Dejemos que $x=a\sin t$

$$\dfrac{a^5}{16}=\dfrac{10a^3}{20}=\dfrac{20a}5$$

$\implies a^2=8,$

$$\implies x^5-10x^3+20x=\pm?\sin5t\le?$$ de verdad $x$