Un polinomio irreducible $f \in \mathbb R[x,y]$ , cuyo cero se establece en $\mathbb A_{\mathbb R}^2$ no es irreducible

Question

Este es un ejercicio de la página 8 del libro de Hartshone Geometría algebraica :

Pon un ejemplo de polinomio irreducible $f \in \mathbb R[x,y]$ cuyo conjunto cero $Z(f)$ en $\mathbb A_{\mathbb R}^2$ no es irreducible.

Creo que tal ejemplo debe provenir del hecho de que $\mathbb R$ no es algebraicamente cerrado. Pero no tengo ni idea de cómo encontrar uno concreto.

Muchas gracias.

Answer 1

$f(x,y)=(x^2-1)^ 2+y^2$ funciona, por lo que puedo decir.

Para demostrar que esto es irreducible: si $f$ es un producto de dos factores no constantes $g$ y $h$ el producto de las formas principales de $g$ y $h$ es $x^4$ . Podemos suponer entonces que estas formas principales son $x$ y $x^3$ o $x^2$ y $x^2$ . En el primer caso, uno de los factores es lineal y esto es imposible porque tendría infinitos ceros, y $f$ no lo hace. Los factores deben entonces tener ambos $x^2$ como forma inicial, y $g$ es entonces de la forma $x^2+ax+by+c$ con $a$ , $b$ y $c$ de verdad. Si $b$ no es cero, esto tiene infinitos ceros y entonces también tiene $f$ Sabemos que esto no es cierto, por lo que se deduce que $g$ depende sólo de $x$ lo mismo funciona para $h$ . Esto es absurdo.

Answer 2

Añadido : Esta respuesta interpreta que "irreducible" significa con respecto a la topología clásica (analítica) en $C(\mathbb{R})$ y no la topología (relativa) de Zariski.

Considere la curva elíptica $y^2 = x^3 + Ax + B$ , para $A,B \in \mathbb{R}$ con $\Delta = 4A^3 + 27B^2 \neq 0$ .

Entonces el polinomio $f(x,y) = x^3 + Ax + B - y^2$ es irreducible. Sin embargo, el conjunto real cero de $f$ tiene dos componentes si $x^3 + Ax + B$ tiene tres raíces reales (véase por ejemplo esta imagen para tener una buena idea de lo que ocurre aquí). Así, por ejemplo $A = -1, B = 0$ da una respuesta a la pregunta.

Si quieres pensar en las cosas de esta manera, un resultado natural es Teorema de Harnack : si $C/\mathbb{R}$ es una curva proyectiva suave y geométricamente integral de género $g$ , entonces el lugar real $C(\mathbb{R})$ tiene como máximo $g+1$ componentes conectados (por lo tanto irreducibles, por suavidad), y todos los números de componentes entre $0$ y $g+1$ son posibles. Así, el ejemplo anterior es, en cierto sentido, el más sencillo.