Dejemos que $\Omega$ sea contablemente infinito. Construye:
$$\mathcal{A} := \{A \subset \Omega: \#A < \infty \text{ or } \#A^c < \infty\}$$
entonces $\mathcal{A}$ es un álgebra. Ahora definimos la función de conjunto $\mu$ en $\mathcal{A}$ por:
$$ \mu(A)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, A \text{ is finite}\\ \infty, A^c \text{ is finite} \end{array} \right. $$
Para su comodidad, la definición de una medida de contenido es: $\mu$ es el contenido en el plató $\mathcal{A}$ (tiene que ser un semirremolque) si $\mu$ es aditivo: $\mu \left(\cup_{i=1}^n A_i \right) = \sum_{i=1}^n \mu \left( A_i \right)$ para cualquier selección mutuamente disjunta de un número finito de $A_1,A_2,...,A_n \in \mathcal{A}$
Ahora dicen esto: $\mu \left(\cup_{\omega \in \Omega} \{ \omega \} \right) = \mu(\Omega) = \infty$ Lo cual tiene sentido para mí porque $\Omega$ es infinito contable, por lo que el complemento $\emptyset$ es finito, y según nuestra definición nuestra función daría como resultado el infinito. Pero lo siguiente no tiene sentido para mí: $\sum_{\omega \in \Omega} \mu \left(\{ \omega \} \right) = 0$ y es que según la definición del conjunto $\mathcal{A}$ habrá algunos elementos $A \in \mathcal{A}$ que son infinitos contables. Y así habrá al menos una $\omega \in \Omega$ que nos dará $\mu(\omega)=\infty$ y sin embargo, según su declaración: $\sum_{\omega \in \Omega} \mu \left(\{ \omega \} \right) = 0$ , lo que implica que no existe tal elemento. ¿En qué me equivoco?
