Colapso y resurgimiento en el modelo de Jaynes Cummings

Question

Tengo algunos problemas para entender los detalles exactos del colapso y el renacimiento en el modelo de Jaynes Cummings. Lo que entiendo es lo siguiente:

Suponemos que nuestro átomo de dos niveles está inicialmente en el estado excitado, interactuando con un modo de campo único en un estado coherente. El estado combinado puede entonces escribirse como

$|\psi(t)\rangle = \sum_{n=0}^{\infty}{C_{e,n}\frac{e^{-\frac{\alpha^2}{2}}|\alpha|^n}{\sqrt{n!}}|e,n\rangle} + \sum_{n=0}^{\infty}{C_{g,n+1}\frac{e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\alpha^n}{\sqrt{n!}}|g,n+1\rangle}$

donde en el caso de desintonía cero sabemos que los coeficientes vienen dados por $C_{e,n} = \cos{(g\sqrt{n+1}t)}, C_{g,n+1} = i\sin{(g\sqrt{n+1}t)}$

Ahora bien, si observamos la probabilidad de estar en el estado excitado en función del tiempo $P_e(t)$ podemos encontrar fácilmente que está dada por

$P_e(t) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}}{n!}\cos^2{(g\sqrt{n+1}}t)}$

Esto nos dice que la probabilidad varía con distintas frecuencias, siguiendo una distribución poisional en $|\alpha|^2$ . Sin embargo, aquí es donde me atasco en cuanto a la comprensión. Quiero encontrar la escala de tiempo en la que esta probabilidad se colapsa, y en la que se revive. La mayoría de los textos que he encontrado dicen que el colapso se produce en una escala de tiempo dada por $1/g$ pero personalmente no veo esto. Tiene que ver con la naturaleza poissoniana de los estados coherentes, eso lo sé, y con un argumento que implica que el número de fotones se encuentra principalmente en la región $|\alpha|^2 - |\alpha|, |\alpha|^2 + |\alpha|$ .

Así que, para recapitular, estoy tratando de encontrar los tiempos de colapso y de reanimación de la probabilidad mencionada, en el caso de que no haya desintonía. ¿Podría alguien decirme cómo hacerlo?

Answer 1

Es realmente muy difícil. Esto te lleva al artículo original de Cummings en Phys. Rev. Lett. 140 en 1965, página A1051: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.140.A1051 . Primero debe notar que si $P_e(t)$ se da como has escrito entonces los coeficientes $\frac{e^{-\alpha^2}|\alpha|^{2n}}{{n!}}$ multiplicando $\cos()^2$ los términos son localizados (pico de valores) alrededor de $n = n_{av} = |\alpha|^2$ . Se puede obtener de la fórmula Stirling para grandes $n$ ( $n>10$ ) mediante la aproximación de

$n! \approx \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

y que tratar de encontrar el máximo de la función

$\frac{e^{-n_{av}}|n_{av}|^{n}}{{n!}} \approx 1 /\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{e}{n}\right)^n e^{-n_{av}}|n_{av}|^{n}$

con respecto a $n$ por ser la variable continua.

Calculando y poniendo la derivada a cero se obtiene

$e^{-n_{av}} /(2 \sqrt{2 \pi})e^n n_{av}^n n^{-3/2-n}(1 + 2 n_{av} \log n - 2 n \log n) = 0 $

y la solución aproximada, despreciando la pequeña $1$ en el paréntesis, es

$n=n_{av}$ .

Entonces puede Taylor-expandir $g(n+1)^{1/2}$ hasta el primer orden en torno a $n_{av}$ es decir $g(n+1)^{1/2} \approx g (n_{av}+1)^{1/2} + g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av})$ para preocuparse sólo de los términos que más contribuyen a la suma. Las energías se vuelven lineales en $n$ ahora como para el oscilador armónico. Se obtiene tanto el tiempo de reanimación como el decaimiento de tiempo corto usando esta aproximación después de algunas páginas de matemática adicional (que no está en el documento como era la Carta). Los renacimientos son mucho más simples ya que ahora todos los cosenos oscilan con el múltiplo de la misma frecuencia $g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}]$ y, por lo tanto, se ven directamente a la re-fase. Por lo tanto, el tiempo de renacimiento es $2 \pi (n_{av}+1)^{1/2}/g$ mientras se obtiene el tiempo de decaimiento $1/g$ utilizando una pequeña expansión temporal de los términos de la suma para tiempos cortos para sumarlos hasta el exponente de caída real. Paradójicamente, Cummings no se percató de la existencia de revivals o los ignoró en su artículo original en el que derivaba $1/g$ tasa de colapso incluso si la fórmula que derivó los tiene en ella y fueron descubiertos más tarde por Eberly en Phys. Rev. lett. 44, 1980, página 1323: http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.44.1323 . Deriva una fórmula compacta complicada para el caso arbitrario de la desafinación no nula que es el comportamiento periódico de largo plazo de la reactivación completa después del tiempo $2 \pi (n_{av})^{1/2}/g \approx 2 \pi (n_{av}+1)^{1/2}/g$ que se asemeja ligeramente a el movimiento oscilatorio del paquete de ondas de la partícula libre de débil propagación si se calculara la superposición de éste consigo mismo a partir del tiempo $0$ (la función de autocorrelación) y con el periodo de reanimación, mientras que las oscilaciones rápidas son de cierta fase.

Para obtener el tiempo de decaimiento: Ahora tenemos:

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $\cos^2{[g (n_{av}+1)^{1/2} + g/[2 (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av})]}$

o

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $[\cos{[2 g (n_{av}+1)^{1/2} t + g/[ (n_{av}+1)^{1/2}](n-n_{av}) t]}/2+1/2]$

Ahora utilizamos la fórmula para el $\cos (a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$ dos veces y dejar todos los términos que tienen $\sin (...t) \approx 0$ en él ya que son pequeños y términos con $\cos (...t)$ excepto el más oscilante con $2g$ no tener la carrera $n$ ponemos a $1$ por la misma razón. El resultado es:

$P_e(t) \approx \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-n_{av}}n_{av}^{n}}{n!}} \times$ $[\cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] \cos{[g/[ (n_{av}+1)^{1/2}]n t]}/2+1/2]$

Ahora, utilizando la fórmula de $\cos(x)= (e^{ix}+e^{-ix})/2$

la serie se puede sumar fácilmente a partir de la expansión del exponente de la serie

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(nótese el términos que contienen el exponente del exponente):

$P_e(t) \approx (1/4)\cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] e^{-n_{av}} [e^{n_{av}e^{i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}]t}}$ $+e^{n_{av}e^{-i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t]}}]$ +1/2$

El único paso más es ampliar de nuevo para los pequeños $t$ (sólo nos importa el verdadero mientras que las imaginarias tienen el pequeño $\sin (...t)$ de nuevo):

$e^{-i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t} \approx 1 - t^2 g^2 /2/ (n_{av}+1)$

y así

$e^{i g/[ (n_{av}+1)^{1/2}t} \approx 1 - t^2 g^2 /2/ (n_{av}+1)$

aproximando

$n_{av}+1 \approx n_{av}$ obtenemos $P_e(t) \approx (1/2) \cos [2 g (n_{av}+1)^{1/2} t] e^{-g^2 t^2/2}+ 1/2$ por lo que el tiempo de decaimiento es $1/g$