Demuestre por inducción que la función $a(n)=5a(n-1)-6a(n-2)$ es igual a $2^{n}+3^{n}$ cuando a(1)=5 y a(2)=13

Question

Estoy teniendo un poco de problemas para probar este problema, ya que no estoy seguro de qué hacer en un paso específico. En aras de la brevedad voy a omitir el paso base en el que se demuestra que el caso original es verdadero, y pasar directamente al paso de inducción.

(Suponiendo que $a(k)=5a(k-1)-6a(k-2)=2^{k}+3^{k}$ )

1. $5a((k+1)-1)-6a((k+1)-2)$
2. $5a(k)-6a(k-1)$
3. $5[5a(k-1)-6a(k-2)]-6a(k-1)$
4. $25a(k-1)-30a(k-2)-6a(k-1)$

No estoy del todo seguro de dónde ir después de este paso (o incluso si ese último paso es sensato), en realidad no quiero una respuesta, sino que preferiría que me guiaras (o al menos me mostraras si me he equivocado en algún punto).

Gracias de antemano

Answer 1

pista : $a_{n+1} = 5a_n-6a_{n-1}=5(2^n+3^n)-6(2^{n-1}+3^{n-1})=5(2^n+3^n)-3\cdot 2^n-2\cdot 3^n=....$