Varianza de la función que involucra a la variable aleatoria y su expectativa condicional

Question

$\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}$ $\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}$

Se supone que debo mostrar lo siguiente:

$$ \Var(Y-E(Y\mid X)) = E(\Var(Y\mid X)) $$

Mi intento consistió en utilizar la propiedad simple de las expectativas condicionales y las varianzas, obtengo un resultado cercano, pero no del todo:

$$ \Var(Y-E(Y\mid X)) = \Var(Y) + \Var(E(Y\mid X)) - 2\Cov(Y,E(Y\mid X)) $$

Desde $\Cov(Y,E(Y\mid X)) = \Cov(Y,Y) = \Var(Y)$ entonces:

$$ \Var(Y) + \Var(E(Y\mid X)) - 2\Cov(Y,E(Y\mid X)) = \Var(E(Y\mid X)) - \Var(Y) $$

Pero $\Var(Y) = \Var(E(Y\mid X)) - E(\Var(Y\mid X))$ y luego:

$$ \Var(E(Y\mid X)) - \Var(Y) = \Var(E(Y\mid X)) - \Var(E(Y\mid X)) - E(\Var(Y\mid X)) = -E(\Var(Y\mid X)) $$

Gracias.

Answer 1

Un problema bien conocido. Nota:

$$V(Y\mid X) = E(Y^2\mid X) - ((E(Y\mid X))^2$$

tal que

$$EV(Y\mid X) = E(Y^2) - ((E(Y\mid X))^2.$$

Ahora bien, como $E((Y-E(Y\mid X))=0$ por la ley de las expectativas iteradas,

$$V(Y-E(Y\mid X))= E(Y^2 - 2 Y E(Y\mid X) + (E(Y\mid X))^2) = E(Y^2) - (E(Y\mid X))^2,$$

de nuevo por la ley de las expectativas iteradas. Hecho.