Prueba de la desigualdad $|\sqrt{a} −\sqrt{b}| \le \sqrt{|a − b|}$

Question

¿Cómo se demuestra la siguiente desigualdad? $$|\sqrt{a} \sqrt{b}| \le \sqrt{|a b|}$$ si $a,b >0$

He llegado a $|a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b | \le |ab|$ No estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

SUGERENCIA:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a\ge b\ge 0$ para que $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ y $\sqrt{|a-b|}=\sqrt{a-b}$ .

A continuación, observe que, dado que $a\ge b$ , $a+b-2\sqrt{ab}\ge a-b$ .

Answer 2

Supongamos que $0<a<b$ entonces $$|a−2a \sqrt b\sqrt a +b|≤|a−b|$$ puede reescribirse como $$a−2 \sqrt b\sqrt a +b≤a−b \iff 2b<2 \sqrt b\sqrt a,$$ lo cual es cierto dado que $0<a<b.$ Además, por simetría, el caso $0<b<a$ también se mantiene. Además, el caso de que $a=b$ es trivial.

Answer 3

Cuadrar ambos lados =>

LHS = (√a - √b)(√a - √b)

RHS = a - b

Dividiendo y multiplicando el LHS por √a + √b =>

LHS = RHS * $\frac{√a - √b}{√a + √b}$

Dejemos que $\frac{√a - √b}{√a + √b}$ = k

Está claro que k<=1

Por lo tanto, LHS ≤ RHS

Answer 4

Pista: La función raíz cuadrada es cóncava y desaparece en $0$ Por lo tanto $\sqrt{x+y}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}$ para $x,y\ge 0$ .