Puntos extremos de la bola unitaria

Question

Quiero demostrar que para $X$ compacto y Hausdorff, cualquier $f\in C(X)$ satisfaciendo $|f(x)|=1$ para todos $x\in X$ es un punto extremo de la bola unitaria de $C(X)$ . Aquí, $C(X)$ es el espacio de las funciones continuas de valor complejo sobre $X$ .

Intenté demostrarlo por contradicción, escribiendo $f = \frac12(f_1+f_2)$ para los distintos $f_1,f_2$ en la bola unitaria de $C(X)$ . Entonces por la desigualdad del triángulo, $|f_1(x)|=|f_2(x)|=1$ para todos $x\in X$ . Pero no veo cómo esto lleva a ninguna parte. ¿Me estoy perdiendo algo obvio?

En fin, estoy bastante atascado en esto y agradecería una pista.

Answer 1

Pistas:

$1).\ $ Esta parece ser más o menos su idea: primero demostrar el hecho más general de que un punto $x$ es un punto extremo de la bola unitaria en un espacio de Banach si y sólo si para todo $t\in X$ tenemos $\|x\pm t\|\le 1\Rightarrow t=0.$ Para una dirección, establezca $y=x+t$ y $z=x-t$ y aplicar la definición. Para el otro, escribe $x=\alpha z+(1-\alpha)w$ y supongamos $\alpha\neq 0,1.$

$2).\ $ Supongamos que $|f(x)|=1.$ Toma un $g\neq 0$ por lo que hay un $x_0$ tal que $g(x_0)\neq 0$ . Ahora considere lo que sucede si $\|f\pm g\|\le 1.$