Cálculo de la superficie del toro

Question

Estaba tratando de calcular la superficie de un toro, cuyo radio del tubo es r, y la distancia de la "singularidad" al centro del tubo del toro es R.

Esto es lo que he intentado hacer (La razón por la que creo que estoy equivocado es por página de wolfram alpha torus ).

Debo señalar que el mismo método dio el volumen correcto.

Answer 1

Utiliza el hecho de que el toroide es una superficie de revolución. Considera un toroide generado por la rotación del círculo $$(x-R)^2 + y^2 = r^2, \quad R > r > 0$$ sobre el $y$ -eje. Entonces, por simetría, consideremos la mitad superior dada por $$f(x) = (r^2 - (x-R)^2)^{1/2}, \quad R-r \le x \le R+r.$$ Entonces, en el intervalo $$x \in [x_0, x_0 + \Delta x],$$ la longitud de arco diferencial de $f(x)$ en $x_0$ est $$\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))^2} = \Delta x \sqrt{1 + \left(\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right)^2},$$ y como $\Delta x \to 0$ vemos que el término al cuadrado es una derivada; por lo tanto $$ds = \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$ en cada punto de integración a lo largo del $x$ -eje. Esta fórmula debería ser bastante familiar. A continuación, la superficie diferencial de esta longitud de arco diferencial como girada alrededor del $y$ -está dado por $$dA = 2 \pi x \, ds = 2\pi x \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx.$$ En consecuencia, para la mitad del toro (la mitad por encima del $x$ -), encontramos $$f'(x) = \frac{1}{2}(r^2 - (x-R)^2)^{-1/2} \cdot 2(R-x) = \frac{R-x}{f(x)},$$ y $$\sqrt{1 + (f'(x))^2} = \frac{r}{f(x)};$$ por lo que la superficie total es $$A = 2\pi r \int_{x=R-r}^{R+r} \frac{x}{f(x)} \, dx.$$ Para facilitar el cálculo, consideramos la sustitución $$u = \frac{x-R}{r}, \quad dx = r \, du,$$ lo que resulta en $$A = 2 \pi r \int_{u=-1}^1 \frac{ru \, du}{\sqrt{1-u^2}} + \frac{R \, du}{\sqrt{1-u^2}}.$$ El primer término es claramente $0$ siendo la integral de una función impar sobre $[-1,1]$ , dejando el segundo término: $$A = 2\pi Rr \int_{u=-1}^1 \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = 2\pi^2 Rr,$$ tras una transformación estándar $u = \sin \theta$ . Por lo tanto, la superficie total del toro es $2A = 4\pi^2 Rr$ .

Answer 2

Enfoque geométrico : Hay un enfoque más simple y fácil para encontrar el área de la superficie de un toro que tiene un radio de tubo $r$ y la distancia $R$ desde la singularidad hasta el centro del toro.

Suponiendo que el toro es un cilindro circular de radio $r$ y la longitud $L=2\pi R$ la superficie del toro es $$=(\text{circumference of tube})\times \text{(mean length of tube)}$$ $$=(2\pi r)\times(2\pi R)$$ $$=\color{red}{4\pi^2 Rr}$$