Suma de recíprocos de cubos

Question

Quiero encontrar la suma de las siguientes series:

$$ \sum^{\infty}_{k=0} \frac{ 2}{( 5k+3)^3}$$

He intentado buscar funciones predefinidas (como la función zeta de Riemann, por ejemplo) pero no he encontrado nada para llegar a la suma de esta serie. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

La función digamma puede representarse mediante la serie

$$\psi(z)=-\gamma+\sum_{k=0}^\infty \left(\frac1{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\tag1$$

Diferenciando $(1)$ revela dos veces

$$\psi''(z)=-2\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{k+z}\right)^3 \tag2$$

Configurar $z=3/5$ en $(2)$ encontramos que

$$\begin{align} \psi''(3/5)&=-2\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{k+3/5}\right)^3\\\\ &=-250\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{5k+3}\right)^3\tag3 \end{align}$$

por lo que encontramos que el valor de la serie de interés es

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{2}{(5k+3)^3}=-\frac{\psi''(3/5)}{125}$$