¿Qué es la log-utilidad?

Question

Hoy me he encontrado con este problema:

Calcule la fracción óptima de utilidad logarítmica de su capital para apostar por un lanzamiento de moneda justo en el que gane $x$ en las cabezas y perder $y$ en las colas.

¿Qué significa la utilidad logarítmica en la fracción óptima de utilidad logarítmica? ¿Es un término de gestión de carteras o de estadística? Pido disculpas si esto está en el SE equivocado, ¡por favor, cierre esto si es irrelevante!

Answer 1

Si el capital inicial es $1$ unidad de riqueza y la fracción apostada es $f$ entonces el capital después de apostar al lanzamiento de la moneda es

$$W_1 = 1 + f\xi$$

donde $\xi$ es una variable aleatoria binaria. Suponiendo una moneda justa y WLOG $x,y > 0$ enumerados en unidades de riqueza , tenemos $$P(\xi = x) = P(\xi = -y) = 1/2$$

El capital previsto es

$$E(W_1) = E(1 + f\xi) = 1+ f(x-y)/2$$

Si $x >y$ , tienes una ventaja y la fracción óptima es $f^* = 1$ para maximizar el capital esperado. Sin embargo, si tiene aversión al riesgo puede que no juegue para evitar un $50 \%$ posibilidad de perder $y$ .

A utilidad es una construcción que asigna preferencias a resultados aleatorios (ganancias y pérdidas). En concreto, la utilidad logarítmica fue introducida por Bernoulli para resolver el La paradoja de San Petersburgo

La fracción óptima con utilidad logarítmica se obtiene maximizando

$$E( \log W_1) = \frac{1}{2} \log(1 + fx) + \frac{1}{2} \log (1 - fy)$$

sujeto a la restricción $0 \leqslant f \leqslant 1$ .