¿Cómo escalar la luz poissoniana?

Question

En la óptica cuántica, la luz coherente con frecuencia, fase y amplitud constantes muestra una estadística poissoniana del número de fotones:

$$P(n) = \frac{\bar{n}^{n}}{n!}e^{-\bar{n}}.$$

Un resultado bien conocido para las distribuciones de Poisson es que su varianza es igual a su media y, por tanto, su desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la media:

$(\Delta n)^2 = \bar{n}$ y $\Delta n = \sqrt{\bar{n}}$ .

Ahora bien, si se atenúa un haz de luz coherente, su media n bajaría, digamos que en un factor x. Por lo que tengo entendido, al escalar una distribución de probabilidad, la media y la desviación estándar se escalan por ese factor. Así que un "nuevo" haz de luz tendría las siguientes propiedades en términos de un "viejo" haz de luz:

$\bar{n}_2 = x \bar{n}_1$ y $\Delta n_2 = x \Delta n_1 = x \sqrt{\bar{n}_1}$ .

La varianza del haz atenuado es entonces la siguiente:

$(\Delta n_2)^2 = x^2 n_1$ .

Esto significa que ahora $\bar{n}_2 \ne (\Delta n_2)^2$ , lo que indica que esta luz ya no es poissoniana. Sin embargo, esto haría imposible la creación de luz coherente, ya que siempre hay algún tipo de atenuación en cualquier montaje o fuente de luz. Además, en libros como "Quantum optics, an introduction" de Mark Fox, se sigue hablando de la estadística poissoniana, incluso después de la atenuación o la detección ineficiente. Esto indica que la escala de la distribución de probabilidad explicada anteriormente es incorrecta.

Así que mi pregunta es, ¿cómo se pueden combinar estos dos conceptos? ¿Por qué las propiedades de la luz no se escalan como otras distribuciones de probabilidad?

Answer 1

La clave es cómo describir físicamente la atenuación. Para un estado coherente de la luz $|\alpha\rangle$ con $\bar{n}=|\alpha|^2$ la amplitud $\alpha$ simplemente se multiplica por un factor de escala cuando se somete a la atenuación: $$|\alpha\rangle\to|\alpha\cos\theta\rangle.$$ El factor de escala siempre tiene una magnitud menor que uno, por lo que lo escribí como $\cos\theta$ . Entonces, se mantienen todas las demás propiedades de los estados coherentes: son nuevos estados coherentes con energía media $\bar{n}=|\alpha|^2\cos^2\theta$ y siguen teniendo estadísticas poissonianas.

Estas fórmulas pueden recordarle algo así como la ley de Malus para los polarizadores: la luz polarizada que atraviesa un polarizador tiene una probabilidad $\cos^2\theta$ de ser transmitido, donde $\theta$ es el ángulo relativo entre la polarización de la luz incidente y el eje de transmisión óptimo del polarizador. Esto es exactamente un proceso de atenuación para un estado coherente de la luz con una polarización particular, por lo que te dice que un estado coherente con una polarización dada puede ser atenuado al pasar por un polarizador optimizado para alguna otra polarización, y el estado resultante seguirá siendo coherente y polarizado pero con una intensidad menor.

Las matemáticas de este proceso se derivan de la atenuación descrita por los divisores de haz. En la óptica cuántica, éstos desplazan las energías y las fases entre dos estados coherentes. Así, en el caso de un único estado coherente de entrada, habrá alguna probabilidad $\cos^2\theta$ de transmisión por el divisor de haz y la probabilidad restante $\sin^2\theta$ describe la parte reflejada del rayo. Si se ignora la parte reflejada, se describe la atenuación que reduce la intensidad en $\cos^2\theta$ .

Para conocer los detalles de cómo funciona, hay que investigar las matemáticas de los divisores de haz, que seguramente se tratan en los libros mencionados. Con alguna convención de fase, los estados coherentes se transformarán como $$|\alpha\rangle\otimes|0\rangle\to|\alpha\cos\theta\rangle\otimes|\alpha\sin\theta\rangle.$$