Me gustaría que alguien pudiera ayudarme a derivar esta expresión. ( $K$ es un coeficiente constante. $P_n(x)$ es una función polinómica de grado n). $$ \int\frac{P_n(x)\mathrm{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \equiv P_{n-1}(x) \cdot\sqrt{ax^2+bx+c} + K\cdot\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}, (a\neq0) $$ Después de encontrar las derivadas de ambos lados es fácil encontrar los coeficientes del polinomio $P_{n-1}(x)$ . Entonces nos queda esta simple integral: $$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
kixx
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Este es un caso especial de una técnica conocida como reducción de Hermite (aquí está el original artículo de 1872 ). Se puede derivar por medio de la siguiente identidad, $$\frac{d}{dx}\left(x^{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c}\right)=\frac{c (n-1) x^{n-2}+b(n-1/2) x^{n-1}}{ \sqrt{a x^2+b x+c}}+\frac{a n x^n}{\sqrt{a x^2+b x+c}}.$$ Así que para $a\neq 0$ y $n\geq 1$ tenemos $$\int \frac{x^n}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=\frac{1}{an}x^{n-1}\sqrt{ax^2+bx+c}+\int\frac{P_{n-1}}{\sqrt{a x^2+b x+c}}.$$ Ahora podemos repetir esta reducción en la integral con el polinomio $P_{n-1}(x)$ en el numerador, hasta llegar a $P_0$ , produciendo la identidad en la OP.
