¿La unión contable de conjuntos compactos es compacta?

Question

Dejemos que $A_0$ sea un conjunto compacto (cerrado y totalmente acotado en algún espacio métrico) y consideremos una secuencia de conjuntos $A_n=\{x:d(x,A_0)<1/n\}$ . Para cada $n$ , $A_0\subset B_n\subset A_n$ es compacto.

$$B=\bigcup_{n\ge1}B_n$$

¿Existe alguna condición bajo la cual $B$ ¿también es compacto?

¡Gracias!

Answer 1

$B$ es siempre compacto. Sea $\mathscr{U}$ sea una cubierta abierta de $B$ . $A_0\subseteq B$ y $A_0$ es compacto, por lo que algún finito $\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ cubre $A_0$ . Sea $V=\bigcup\mathscr{U}_0$ ; $V$ es un nbhd abierto del conjunto compacto $A_0$ , por lo que hay un $n\in\Bbb Z^+$ tal que $A_n\subseteq V$ . Sea $K=\bigcup_{k=1}^nB_k$ Entonces $K$ es un subconjunto compacto de $B$ por lo que algún finito $\mathscr{U}_1\subseteq\mathscr{U}$ cubre $K$ y $\mathscr{U}_0\cup\mathscr{U}_1$ es un subconjunto finito de $\mathscr{U}$ cubriendo $B$ .