¿Por qué establecer la derivada de una función de probabilidad igual a 0 maximiza la función de probabilidad?

Question

Estoy aprendiendo de un tutorial de estadística que define una función de probabilidad como

\begin{align} L(1,3,2,2; \theta)=27 \cdot \theta^{8} (1-\theta)^{4} \tag{1} \end{align}

y luego el tutorial pone la derivada de (1) a cero para encontrar el valor de $\theta$ que maximiza la función de probabilidad.

Entiendo de dónde viene esta fórmula.

\begin{align} \frac{\text d L(1,3,2,2; \theta)}{\text d\theta}= 27 \big[8\theta^{7} (1-\theta)^{4}-4\theta^{8} (1-\theta)^{3} \big] \tag{2} \end{align}

No entiendo cómo determinar si el ajuste (2) a 0 produce un máximo o un mínimo.

Por otro tutorial Podríamos utilizar la segunda derivada de la función para determinar si es un máximo o un mínimo.

Esta es la segunda derivada de la función de probabilidad (1)

$4\left(\theta-1\right)^2\theta^6\left(33\theta^2-44\theta+14\right) \tag{3}$

Ajustando (2) a cero y simplificando se obtiene

$2-3\theta = 0 \tag{4}$

¿Cómo utilizo (3) para determinar si es un máximo o un mínimo?

¿Debo poner (3) a cero y simplificarlo de la misma manera para obtener (4)?

Cualquier otro método también es bienvenido.

Answer 1

Citando a Wikipedia :

Una forma de enunciar el teorema de Fermat es que, si una función tiene una extremo local en algún punto y es diferenciable en él, entonces la derivada de la función en ese punto debe ser cero. En lenguaje matemático lenguaje matemático:

Dejemos que $$f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$$ sea una función y suponga que $x_0 \in (a,b)$ es un punto donde f tiene un local extremo local. Si $f$ es diferenciable en $x_0$ entonces $$f'(x_0) = 0$$

y

Tras establecer los puntos críticos de una función, el prueba de la segunda derivada utiliza el valor de la segunda derivada en para determinar si dichos puntos son un máximo o un mínimo local. mínimo local. Si la función $f$ es dos veces diferenciable en a punto crítico $x$ (es decir, un punto donde $f'(x) = 0)$ entonces:

• Si $f''(x) < 0$ entonces $f$ tiene un máximo local en $x$ .
• Si $f''(x) > 0$ entonces $f$ tiene un mínimo local en $x$ .
• Si $f''(x) = 0$ La prueba no es concluyente.

Answer 2

Es evidente que Xi'an tiene razón, pero quizá una descripción menos formal pueda ayudar a desarrollar su intuición.

Tienes un parámetro, así que podrías crear un gráfico con el parámetro en el eje x y la probabilidad en el eje y. La primera derivada es la pendiente de esa curva en el valor del parámetro. Si la derivada es positiva, entonces la curva tiene una pendiente ascendente, por lo que hay una mayor probabilidad en algún lugar a la derecha y el valor actual del parámetro no puede ser el máximo. Del mismo modo, si la derivada es negativa, entonces la curva tiene una pendiente descendente, por lo que hay una mayor probabilidad en algún lugar de la izquierda y el valor actual del parámetro no puede ser el máximo. Sólo cuando la derivada es cero, ese valor del parámetro puede dar lugar a un valor máximo de probabilidad. Así que esa es una condición necesaria.

Sin embargo, ese valor también podría ser un mínimo. Para distinguirlos, miramos la segunda derivada. Ésta nos indica cómo cambia la pendiente. Para un máximo empezamos con una pendiente positiva, que disminuye a medida que nos movemos hacia la derecha. Por tanto, la segunda derivada es negativa para un máximo. Para un mínimo comenzamos con una pendiente negativa, que se vuelve menos negativa (es decir, aumenta) a medida que nos movemos hacia la derecha. Así que la segunda derivada es positiva para un mínimo.