Sobre el cierre débil de una secuencia de proyecciones

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert con $\text{dim}=\infty$ y $\{e_n\}$ sea una secuencia ortogonal de proyecciones en $B(H)$ . Demostrar que $\{\sqrt{n}e_n ; n\geq 1\}$ no admite una subsecuencia que converja a cero débilmente.

Supongamos que $\{\sqrt{n_k}e_{n_k}\}$ sea una subsecuencia débilmente convergente a cero , por lo que $$\sqrt{n_{k}}e_{n_k}\to 0 (\text{wot}) \Longrightarrow \sqrt{n_k} \langle e_{n_k}\xi,\eta\rangle \to 0~(\xi,\eta\in H)$$ $$~~~~~~~~~~\Longrightarrow \{\sqrt{n_k}\langle e_{n_k} \xi , \eta\rangle\} \text{is norm bounded}$$ Ahora necesito demostrar que la subsecuencia anterior no está acotada para una contradicción.

Aunque estoy seguro de que la subsecuencia no está acotada, pero no puedo demostrarlo. Por favor, ayúdame. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\{\sqrt{n_k}e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ sea una subsecuencia arbitraria de $\{\sqrt{n}e_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ . Está claro que $k\leq n_k$ . Para cada número entero positivo $k$ existe $\xi_k\in H$ tal que $\| \xi_k\|=1$ y $e_{n_k}\xi_k=\xi_k$ . Definir la secuencia de números $\{ \alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ de la siguiente manera: $\alpha_k=\frac{1}{\sqrt[4]{n_k}}$ si $k$ es una potencia de $2$ es decir, si $k=2^m$ para algún número entero positivo $m$ para $k\ne 2^m$ , dejemos que $\alpha_k=0$ . De ello se desprende que $$ \sum_{k=1}^{\infty}|\alpha_k|^2=\sum_{m=1}^{\infty}|\alpha_{2^m}|^2\leq \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{2^m}}<\infty. \tag1 $$ Así, $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\xi_k$ es un vector bien definido en $H$ . Se deduce de $$ \langle \sqrt{n_k}e_{n_k}\xi,\xi\rangle=\sqrt{n_k}\alpha_{k}^{2}=\left\{ \begin{array}{cc} 1; & k=2^m\\ 0; & k\ne 2^m\end{array} \right. $$ que la secuencia $\{ \langle \sqrt{n_k}e_{n_k}\xi,\xi\rangle\}_{k=1}^{\infty}$ no converge a $0$ y por lo tanto $\{ \sqrt{n_k}e_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ no converge a $0$ en la topología del operador débil.