Mapa de límites en Mayer Vietoris y homología del complemento del nudo

Question

Dejemos que $K$ sea un nudo en $S^3$ y N(K) es su vecindad tubular. Quiero calcular la homología de $S^3-N(K)$ con Mayer-Vietoris. Sea $A$ sea $N(K)$ menos un pequeño barrio, y $B$ sea el complemento de N(K) con una pequeña vecindad añadida. Obsérvese que $A\cup B$ es $S^3$ y $A\cap B$ deformaciones se retrae en un toroide. $H_1(S^3-N(K))$ y $H_n(S^3-N(K))$ , $n>2$ , salen de Mayer Vietoris aplicados a A y B. Sin embargo, estoy luchando con $H_2$ . Según Mayer-Vietoris tenemos la siguiente secuencia exacta $$H_3(S^3) \to H_2(T) \to H_2(A)\bigoplus H_2(B) \to 0$$ La parte que no entiendo es el mapa $H_3(S^3) \to H_2(T)$ . Sea $\alpha$ sea el generador de $H_3(S^3)$ . Bajo el mapa de límites de Mayer-Vietoris, $\alpha$ se subdivide en una parte que reside en $A$ y una parte que reside en $B$ . A continuación, tomamos el límite de la parte que reside en $A$ . Pensar así en el mapa de límites me hace pensar que es un isomorfismo. Sin embargo, no estoy seguro de ello.

¿Hay otras maneras de ver lo que este mapa hace al generador de $H_3(S^3)$ ? En términos más generales, ¿cómo se trabaja con el mapa de límites en la secuencia MV en dimensiones superiores, donde las cosas no se pueden visualizar simplemente?

Answer 1

Tienes razón en que es un isomorfismo, por el argumento al que te has referido. La página de Wikipedia sobre la secuencia de MV tiene una descripción bastante buena del mapa de límites, explicando por qué está bien definido, etc. Supongo que la parte más complicada es ver por qué se pueden subdividir los ciclos para que queden enteramente en $A$ ou $B$ después de esto es simple álgebra para definir el mapa de límites.

Para visualizar el mapa puedes suponer que tienes una bonita triangulación de $S^{3}$ por tetraedros tales que el toro límite (digamos $T = \partial N(K)$ ) está contenida en el $2$ -esqueleto. Entonces podemos dividir nuestro conjunto de tetraedros en dos subconjuntos, dependiendo de qué componente conectada de $S^{3} \setminus T$ el interior de cada tetraedro está contenido. Esto nos da nuestros dos ciclos $U,V$ con

1. $U+V = [S^{3}]$ .

2. $\partial U = - \partial V = [T]$ .

Entonces, por definición, el mapa de límites mapea $U+V \in H_{3}(S^{3},\mathbb{Z})$ a $\partial U \in H_{2}(T,\mathbb{Z})$ por lo que mapea clase fundamental a clase fundamental y por lo tanto es un isomorfismo.