Simplificación de un límite

Question

Estaba resolviendo un problema en el que se formaba un gp con términos exponenciales. Obtuve esto --> $$\lim_{n\to \infty} \frac{2}{n} \left[e^{-1} \frac{({(e^{\frac{2}{n}}})^{n}-1)}{e^{\frac{2}{n}}-1}\right]$$ pero soy incapaz de reducirlo más. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Por linealidad y $\left({e^{\frac 2n}}\right)^n=e^2$ tenemos que evaluar $$\frac {2(e^2-1)}{e} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n(e^{\frac 2n}-1)}$$ Desde $$n\left( e^{\frac 2n} - 1\right)=\dfrac{\dfrac{e^{\frac 4n}-1}{e^\frac 2n+1}}{\dfrac 1n}$$ así que por la regla de de l'Hospital $$\lim_{n\to\infty} {n(e^{\frac 2n}-1)}=\lim_{n\to\infty} \dfrac{\dfrac{-2e^\frac 6n-4e^\frac 4n-2e^\frac 2n}{n^2\left(e^{\frac 2n}+1\right)^2}}{-\dfrac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty} 2e^\frac 2n = 2$$

Si lo introducimos, vemos finalmente que el resultado es $\boxed{e-\frac 1e=2\sinh 1}$