Series que implican la función totiente de Euler $\varphi(n)$

Question

Pruébalo:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n\varphi(n)}{1-x^n}=\frac{x}{(1-x)^2}$$

donde $\varphi$ es la función totiente de Euler.

Puedo ver en Wolfram Alpha que este es el caso, pero ¿cómo probarlo?

Answer 1

Ampliar el alcance $\frac{1}{1-x^n}$ en una serie de potencias conduce a $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n\phi(n)}{1-x^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n)x^n\sum_{k=0}^{\infty}x^{nk}=\sum_{n=1}^{\infty}\phi(n)\sum_{k=1}^{\infty}x^{nk} $$ Para un determinado $m\geq 1$ el coeficiente de $x^m$ en la suma anterior es $\sum_{d|m}\phi(d)=m$ Por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n\phi(n)}{1-x^n}=\sum_{m=1}^{\infty}mx^m$$

Finalmente, diferenciando la serie geométrica $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{m=0}^{\infty}x^m$$ y multiplicando por $x$ muestra que $$\sum_{m=1}^{\infty}mx^m=\frac{x}{(1-x)^2}$$