Rotación de la hipérbola con cualquier ángulo

Question

¿Cuál es la ecuación general de la elipse que no está en el origen y está girada un ángulo?

Este post analiza la fórmula de una elipse girada por un ángulo. ¿Es válida una fórmula similar para la hipérbola? Creo que será $$\frac{((xh)\cos A+(yk)\sin A)^2}{a^2}-\frac{((xh)\sin A(yk)\cos A)^2}{b^2}=1$$

Nota: No tengo ni idea de cómo escribir una ecuación con código. ¡Si alguien pudiera hacerlo, sería genial!

Answer 1

De @amd, tenemos que $$(x-h)\sin\theta=x''\sin\theta\cos\theta-y''\sin^2\theta\tag{1}$$ $$(y-k)\Ncos\theta=x''\theta\cos\theta+y''\cos^2\theta\tag{2}$$ Now $(2)-(1)$ gives $$y''=(y-k)\Ncos\theta-(x-h)\Nsin\theta\tag{3}$$ using the identity $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$.

Por lo tanto, poner $(3)$ en $y-k=x''\sin\theta+y''\cos\theta$ obtenemos $$x''=\frac{y-k-(y-k)\cos^2\theta-(x-h)\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta}=(y-k)\sin\theta-(x-h)\cos\theta\tag{4}$$ desde $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$ .

Combinando $(3)$ y $(4)$ obtenemos $$\left(\frac{(y-k)\sin\theta-(x-h)\cos\theta}a\right)^2-\left(\frac{(y-k)\cos\theta-(x-h)\sin\theta}b\right)^2=1\tag{5}$$

Answer 2

La ecuación estándar de una hipérbola en el origen es $${x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=1$$ Primero giramos la hipérbola alrededor del origen y luego la transportamos a algún punto arbitrario. La matriz de rotación es $$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$$ entonces aplicándolo a la ecuación estándar de la hipérbola obtenemos $$x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta$$ lo que significa que $$x=x'\cos\theta+y'\sin\theta\\y=-x'\sin\theta+y'\cos\theta$$ por lo que la nueva ecuación de la hipérbola rotada es la misma que se obtuvo cuyo centro se transporta a algún punto $(h,k)$ .
Para la parametrización, observe que la forma estándar es $$x=a\cosh t\\y=b\sinh t$$ por lo que la nueva parametrización pasaría a ser $$x=a\cosh t\cos\theta-b\sinh t\sin\theta\\y=a\cosh t\sin\theta+b\sinh t\cos\theta$$

Answer 3

Es muy sencillo derivar la ecuación por ti mismo. Girar un punto $(x'',y'')$ a través de un ángulo $\theta$ sobre el origen se realiza a través de la transformación $$x' = x''\cos\theta-y''\sin\theta \\ y' = x''\sin\theta+y''\cos\theta$$ y una traducción de $(x',y')$ por $(h,k)$ es $$x = x'+h \\ y = y'+k.$$ Combina estas dos transformaciones y resuelve para $x''$ y $y''$ en términos de $x$ y $y$ y luego sustituir en la ecuación básica $\left({x'' \over a}\right)^2-\left({y'' \over b}\right)^2 = 1$ .

Answer 4

También puedes dibujar una hipérbola rotada usando un par de funciones $$y_1=\frac{2}{x+\sqrt{\frac{4}{\tan (b)-\tan (a)}+x^2}}+x \tan (b)$$ y $$y_2=\frac{2}{x-\sqrt{\frac{4}{\tan (b)-\tan (a)}+x^2}}+x \tan (b)$$ conectados en puntos $$\left(\frac{-2}{\sqrt{\tan (a)-\tan (b)}},\frac{-\tan (a)-\tan (b)}{\sqrt{\tan (a)-\tan (b)}}\right)$$ y $$\left(\frac{2}{\sqrt{\tan (a)-\tan (b)}},\frac{\tan (a)+\tan (b)}{\sqrt{\tan (a)-\tan (b)}}\right)$$ donde $a$ y $b$ - ángulos de las asíntotas. Imagen de muestra .