Demostrar que una función armónica es constante

Question

Dejemos que $u:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea una función armónica y supongamos que existe $C>0$ tal que $|u(x)| \leq C(1+\sqrt{\|x\|})$ . Quiero mostrar que $u$ es constante.

Mi primera idea: Mostrar que $C(1+\sqrt{\|x\|})$ es armónico y utiliza la propiedad de la media volumétrica, pero $C(1+\sqrt{\|x\|})$ no es armónico.

Tampoco puedo limitar para $C(1+\sqrt{\|x\|})$ .

No tengo más ideas.

Answer 1

Para las funciones armónicas, es válido lo siguiente:

$$|D_iu(y)| \leq \frac n R \sup_{\partial B_R(y)} |u|.$$

(Mira Estimaciones de las derivadas de la función armónica para una prueba sencilla).

Así, tenemos para cualquier $y\in\mathbb{R}^n$ y un fijo $R$ :

$$|D_iu(y)|\leq\frac{nC}{R}(1+\sqrt{R})=\frac{nC}{R}+\frac{nC}{\sqrt{R}}.$$

El lado derecho de la desigualdad anterior es cero cuando $R\to\infty$ . Así, $D_iu(y)\equiv0,\forall y\in\mathbb{R}^n$ y $1\leq i\leq n$ . Por lo tanto, $$Du\equiv0\Rightarrow u=constant.$$