Si $f$ es un endomorfismo en $E$ (espacio vectorial euclidiano)...

Question

Tenemos que para cada $(x,y) \in E$ tiene

$$(f(x),y)=(x,f(y))$$

¿Cómo puedo demostrar que $\operatorname{Im}(f)$ es ortoghonal a $\ker(f)$ ?

Muchas gracias, hace tiempo que lo intento

Answer 1

Dejemos que $x\in\operatorname{ker} f$ y que $z\in\operatorname{im} f$ . Entonces $f(x)=0$ y $z=f(y)$ para algunos $y\in E$ . Ahora $(x,z)=(x,f(y))=(f(x),y)=(0,y)=0$ .

Answer 2

$$x \in \ker f \iff f(x) = 0\iff \langle f(x), y\rangle = 0, \forall y \in E \iff \langle x, f(y)\rangle = 0, \forall y \in E \iff x \perp \operatorname{Im} f$$

así que $\ker f = (\operatorname{Im} f)^\perp$ . En particular $\ker f \perp \operatorname{Im} f$ .