Identidad de barrio en CFT

Question

Se trata de la ecuación de Polchinski (2.3.11).

Dice que $$Res_{z\rightarrow z_0}j(z)\mathcal A(z_0,\bar z_0)+\bar{Res}_{z\rightarrow z_0}\tilde j(\bar z)\mathcal A(z_0,\bar z_0)=\frac1{i\epsilon}\delta \mathcal A(z_0,\bar z_0)$$ de (2.3.10), $$\oint_{\partial R}(jdz-\tilde jd\bar z)\mathcal A(\sigma_0)=\frac{2\pi}{i\epsilon}\delta\mathcal A(\sigma_0).$$ ``Res'' es el coeficiente de $\frac1{z-z_0}$ . Pero, ¿cómo supimos que $j\sim\frac{1}{z-z_0}$ es decir, tiene un polo en $z=z_0$ ? No sé nada sobre $j$ excepto que es una función de $z$ .

Answer 1

Nótese que es el residuo de la combinación $j(z)\mathcal A(z_0,\bar{z_0})$ que necesitamos: los polos vienen de la OPE donde se juntan los operadores.

Ahora podría ser que $j(z)\mathcal A(z_0,\bar{z_0})$ es más singular que $\frac{1}{z-z_0}$ en $z=z_0$ . Sólo los polos simples contribuyen por el teorema del residuo. Y si no hay ningún polo simple (tal vez $\mathcal A$ es $1$ y/o la combinación es regular), entonces la respuesta será cero.