Los impulsos de Lorentz se representan mediante la simetría $4\times4$ matrices. Aunque las transformaciones de Lorentz más generales no tienen una propiedad de simetría obvia, ¿se puede entender intuitivamente la simetría (bajo transposición) de las matrices de impulso de Lorentz? Por ejemplo, a partir de las consideraciones del principio de relatividad (que la transformación inversa puede obtenerse mediante la transformación $v\leftrightarrow-v$ ).
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No creo que exista ningún argumento intuitivo para la simetría de los impulsos de Lorentz. Pero al menos yo intento pensar de la siguiente manera.
Primero consideremos el impulso 1+1-Lorentz $\mathbb{L}_{_{2\times2}}$ \begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ ct'\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \símbolo en negrita \begin{bmatrix} L_{11} & L_{14}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ L_{41} & L_{44}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ ct\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \símbolo en negrita \mathbb{L}_{_{2\times2}} \X. \etiqueta01 \Fin de la ecuación Dado que la relatividad especial unifica el espacio y el tiempo en una entidad, un argumento sería que el impulso de Lorentz \eqref {01} debe ser simétrica bajo el intercambio de $x$ y $ct$ . Así que aplicando la matriz \begin{equation} \sigma_1\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \:\:0 & 1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1 & 0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N -qquad \N - sigma^2_1\N-símbolo de negrita{=}rm I \etiqueta{02} {etiqueta{02} \Fin de la ecuación en la ecuación \eqref {01} tenemos \begin{equation} \begin{bmatrix} ct'\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x'\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \símbolo en negrita \begin{bmatrix} \:\:0 & 1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1 & 0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x'\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ ct'\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \símbolo en negrita \N-sobrecubierta \begin{bmatrix} \:\:0 & 1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1 & 0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{11} & L_{14}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ L_{41} & L_{44}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \:\:0 & 1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1 & 0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}} ^{\sigma_1 \mathbb{L}_{_{2\times2}}\sigma_1} \begin{bmatrix} ct\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} |etiqueta \N - fin {equipamiento} Así que debemos tener $\sigma_1 \mathbb{L}_{_{2\times2}}\sigma_1\boldsymbol{=}\mathbb{L}_{_{2\times2}}$ o \begin{equation} \sigma_1 \mathbb{L}_{_{2\times2}}\boldsymbol{=}\mathbb{L}_{_{2\times2}}\sigma_1 \tag{04}\label{04} \end{equation} La matriz de refuerzo de Lorentz $\mathbb{L}_{_{2\times2}}$ debe conmutar con el $\sigma_1 $ (que esta última sea una matriz de Pauli es irrelevante aquí) \begin{equation} \begin{bmatrix} L_{41} & L_{44}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ L_{11} & L_{14}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \símbolo en negrita \begin{bmatrix} L_{14} & L_{11}\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ L_{44} & L_{41}\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} |etiqueta{05} {etiqueta{05} \N - fin {equipamiento} De la ecuación anterior \begin{equation} L_{14}\boldsymbol{=}L_{41} \quad \text{and} \quad L_{11}\boldsymbol{=}L_{44} \tag{06}\label{06} \end{equation} Así que la matriz $\mathbb{L}_{_{2\times2}}$ debe ser simétrica con elementos iguales en la diagonal. Configurando \begin{equation} \!\!\!\!\!\!L_{11}\boldsymbol{=}L_{44}\boldsymbol{=}\xi\ge 1 \:\:\texttt{(orthochronus)} \:\text{and} \: L_{14}\boldsymbol{=}L_{41}\boldsymbol{=}\eta\stackrel{\det \mathbb{L}_{_{2\times2}}\boldsymbol{=+}1}{\boldsymbol{=\!=\!=\!=\!=\!=}}\boldsymbol{}\pm\sqrt{\xi^2-1} \tag{07}\label{07} \end{equation} tenemos \begin{equation} \mathbb{L}_{_{2\times2}}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \:\:\xi & \eta\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:\eta & \xi\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado \N - símbolo de negrita{=}\N - cuadrado {\xi^2-1} \Etiqueta08. \fin {equation} Dado que $y'\boldsymbol{=}y,z'\boldsymbol{=}z $ la correspondiente $4\times4$ matriz es \begin{equation} \mathbb{L}_{_{4\times4}}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \:\:\xi & \:\:0\:\:& \:\:0\:\:& \eta\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:0 & \:\:1\:\:& \:\:0\:\:& 0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:0 & \:\:0\:\:& \:\:1\:\:& 0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:\eta & \:\:0\:\:& \:\:0\:\:& \xi\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado \N - símbolo de negrita{=}\N - cuadrado {\xi^2-1} \Etiqueta 09. \Fin de la ecuación Mediante una rotación pura en el espacio acabamos con una matriz simétrica para el impulso de Lorentz. Para ver cómo echar un vistazo en SECCIÓN B de mi respuesta como "user82794" aquí Dos conjuntos de coordenadas cada uno en los marcos O y O (transformación de Lorentz) .
BK Morgan
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Esta es una forma de entender el grupo de transformaciones de Lorentz: Se compone esencialmente de dos tipos de transformaciones, las rotaciones en 3 dimensiones y los impulsos. Como las rotaciones te resultan familiares, me centraré en la comprensión de los aumentos. En concreto, hablaré de los impulsos en el $x$ -porque un impulso en cualquier otra dirección puede construirse girando primero la dirección en la que queremos impulsar para que apunte a la dirección $x$ -dirección, aplicar un impulso a lo largo de la $x$ -dirección, y luego girar hacia atrás.
Teniendo en cuenta estas cosas, los aumentos de Lorentz son las transformaciones únicas $L(v)$ que cumplen los requisitos para formar un grupo, y otras dos condiciones:
a) Aumentar en cero no hace nada: $L(0)=I$
b) Impulsar por $-v$ es lo mismo que el impulso inverso: $L^{-1}(v)=L(-v)$
c) Asociatividad (se deduce automáticamente del tratamiento de las matrices)
d) Cierre: Para dos velocidades cualesquiera $u,v$ existe alguna otra velocidad $w$ (no hacemos ninguna afirmación sobre el aspecto que debe tener) tal que $L(u)L(v)=L(w)$
e) Impulso por $v$ desde el estacionamiento debería hacernos mover con velocidad $v$ : $L(v)\left(\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t^\prime\\ vt^\prime\end{array}\right)$ para algunos $t^\prime$ (de nuevo, no hay reclamaciones sobre lo que debería ser).
f) La condición final equivale a lo siguiente: Supongamos que $P$ es la matriz de paridad, lo que significa que niega todas las direcciones espaciales. Entonces deberíamos tener $$ PL(v)\left(\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right)=L(-v)P\left(\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right)=L(-v)\left(\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right). $$ En otras palabras, aplicar un impulso a un fotograma estacionario y luego aplicar la paridad debería ser lo mismo que sólo aplicar un impulso en la dirección opuesta.
Con estas condiciones, la forma genérica de un impulso a lo largo del $x$ -la dirección es completamente fija, excepto por una constante libre, que equivale a la velocidad de la luz (¡y llevar esta constante al infinito también devuelve los impulsos galileanos!).
Los requisitos se establecen de forma algo diferente, pero los pasos para calcular realmente el impulso de Lorentz a partir de los datos anteriores se pueden encontrar aquí .
MW99
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Como dice Frobenius en un comentario, baja al caso 1+1-D. Una dimensión del tiempo $w=ct$ una dimensión del espacio $x$ .
Entonces se quiere preservar la velocidad de la luz y esto significa $\hat w\pm \hat x$ son vectores propios de la transformada de Lorentz: vectores propios ortogonales (en el sentido euclidiano) con valores propios reales. Así que es hermitiana pero es real: así que es simétrica. Te da la pista de que no es simétrica si eliges, digamos, $w=2ct$ . Pero si hubiera elegido $w=2ct$ la matriz resultante seguiría obedeciendo el principio de inversión $L(v)L(-v)=I$ por lo que no puede ser suficiente.
Ahora, eso es un poco cursi, se podría decir que tiene que ser "simetrizable" en algún sentido, así que permítanme dar ejemplos más sustanciales. Primero, la matriz de rotación 2x2 por ángulo $\theta=\tan^{-1}(v/c)$ satisface $R_\theta R_{-\theta}=I$ pero $R_\theta$ no es simétrico. En segundo lugar, la matriz de transformación galileana satisface $G(v)G(-v)=I$ pero no es simétrico.
Mirando la respuesta de Richard Myers, éstas parecen satisfacer además todos los axiomas (a)-(f) y da una pista de que el segundo ejemplo corresponde a una velocidad infinita de la luz, por lo que parece plausible que el primer ejemplo sea en cambio algo así como una velocidad imaginaria de la luz?
Furqan Shaikh
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La matriz de transformación de los cuatro vectores en RR es: $$ \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu} = \pmatrix{ \gamma & -{\gamma \over c} \bf{v} \cr -\gamma {\bf{v} \over c} & \bf{L} \cr } = \pmatrix{ \gamma & {\gamma\over c}v_1 & {\gamma\over c}v_2 & {\gamma\over c}v_3 \cr -{\gamma\over c}v_1 & 1+(\gamma-1){v_1^2\over v^2} & (\gamma-1){v_2v_1\over v^2} & (\gamma-1){v_3v_1\over v^2} \cr -{\gamma\over c}v_2 & (\gamma-1){v_1v_2\over v^2} & 1+(\gamma-1){v_2^2\over v^2} & (\gamma-1){v_3v_2\over v^2} \cr -{\gamma\over c}v_3 & (\gamma-1){v_1v_3\over v^2} & (\gamma-1){v_2v_3\over v^3} &1+(\gamma-1){v_3^2\over v^2} \cr } $$
$\bf{L}$ es un operador espacial que tiene vectores propios $\parallel\bf{v}$ perteneciente al valor propio $\gamma(v)$ y los vectores propios $\perp\bf{v}$ perteneciente al valor propio $1$ . La simetría de $\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu}$ depende de la simetría $ (x\leftrightarrow ct)$ de las transformaciones estándar de Lorentz: $$ {R^\mu}' = \Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu} \, R^\nu \qquad\qquad \pmatrix{ct' \cr x' \cr y' \cr z' \cr} = \pmatrix{ \gamma & -{\gamma\over c}v & 0 & 0 \cr -{\gamma\over c}v & \gamma & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr } \pmatrix{ct \cr x \cr y \cr z \cr} $$
Para entender esta simetría es conveniente derivar el resultado anterior con un método debido (creo) a Ignatowsky (1910). Es fácil ver que, para salvaguardar el concepto de sistema de referencia inercial, las fórmulas de transformación de coordenadas de coordenadas deben ser preformadas (con un parámetro indeterminado $\gamma$ ) de la siguiente manera: $$ \eqalign{ & x' = \gamma (x - vt) \cr & y' = y \cr & z' = z \cr & t' = \gamma \left[t-\left(1 - 1/\gamma^2 \right){x\over v} \right] \cr } $$ La única suposición relevante para obtener este resultado es que las transformaciones inversas se obtienen cambiando el signo del tiempo, es decir, cambiando el signo de la velocidad relativa de los sistemas de referencia $(\bf{v} \leftrightarrow \bf{-v})$ . En consecuencia, la fórmula de transformación de la velocidad resulta $$ u' = {u -v\over 1 - \left(1-{1\over \gamma^2} \right){u\over v}} $$
Estas fórmulas son independientes de cualquier principio de relatividad. Para $\gamma = 1$ proporcionan las transformaciones de Galileo.
Preguntémonos ahora si puede existir una velocidad $c$ invariante, es decir que tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales: $\forall v: u' = u =c$ . Para $u'=u=c$ que implica: $$ 1-{1\over \gamma^2} = {v^2 \over c^2} $$ Si $\gamma > 1$ esta relación nos da un valor real positivo para $c$ . De esta manera obtenemos las transformaciones de Lorentz en configuración estándar que tienen la simetría requerida $ (x \leftrightarrow ct)$ .
Conclusión: si y sólo si admitimos la existencia de una velocidad invariante las matrices de transformación son simétricas. Por tanto, la simetría de la matriz $\Lambda^\mu_{\phantom{\mu}\nu} $ puede verse como una expresión del postulado de la constancia de la velocidad de la luz.
