¿Existe una transformación lineal $T$ de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$ tal que $T(1, 2)=3$ , $T(2, 2)=-1$ y $T(2, 5)=\frac{19}{2}$ ?

Question

¿Existirá una $TL$ , $T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $T(1, 2)=3$ , $T(2, 2)=-1$ y $T(2, 5)=\frac{19}{2}$ ? Justifica tu respuesta.

Según yo, si existe tal transformación lineal. Porque si $T(2, 2)=-1$ entonces la propiedad de linealidad de $T$ implicaría que

$$\begin{align*} -1&=T(2,\: 2)\\ &=T\left[ 6(1,\: 2)+\left(-2(2,\: 5)\right) \right] \\ &=6T(1,\: 2)-2T(2,\: 5) \\ &=6(3)-2\left( \frac{19}{2}\right) \\ &=18-19 \\ &=-1 \end{align*}$$

Lo mismo para el resto. Nótese que los vectores son linealmente dependientes, $6(1, 2)+(2, 2)+2(2, 5)=0$ .

Answer 1

Insinuación:

Si existe tal transformación lineal, entonces debería haber una solución para

$$\begin{align} x+2y&=3\\ 2x+2y&=-1\\ 2x+5y&=\frac{19}{2} \end{align}$$

La transformación entonces sería $T(a, b) = ax+by$ . Si no existe ninguna solución al sistema anterior, entonces no hay tal $T$ .