¿Por qué sub- y super-armónico?

Question

Mi pregunta puede parecer estúpida, pero allá vamos. Recordemos que una función $u$ se llama subarmónico (superarmónico) si $\Delta u\ge 0 (\le 0)$ .

1) ¿Por qué el primero se llama subarmónico pero no superarmónico, y viceversa para el segundo?

2) Además, ¿por qué la palabra sub- y super-? Tengo curiosidad por saber el origen de estos nombres.

Answer 1

Sub-armónico = sub-armónico. Si dos funciones $u, h$ tienen los mismos valores límite en un dominio $\Omega$ y satisfacer $\Delta u\ge 0$ y $\Delta h=0$ entonces $u\le h$ en $\Omega$ la gráfica de la función subarmónica está por debajo de la gráfica de la función armónica. (Esto es una consecuencia del principio de máximo aplicado a $u-h$ .)

Para los superarmónicos $u$ es al revés: $u\ge h$ .

Se puede establecer una comparación con una función convexa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ . La gráfica de dicha función en un intervalo $(a,b)$ se encuentra por debajo de la línea secante que pasa por $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ . El paralelo subarmónico : armónico :: convexo : afín suele ser útil.