Demuestre que el conjunto de todos los subconjuntos cerrados hacia abajo de un conjunto parcialmente ordenado es completo en cadena

Question

¿Cómo puedo demostrar que dado un conjunto parcialmente ordenado $(A\le)$ con fondo, el conjunto $\operatorname{dc}(A)$ que contiene todos los subconjuntos de $A$ que se cierran hacia abajo es completa en cadena?

Por "conjunto parcialmente ordenado" me refiero a un conjunto con una relación de orden parcial $\le$ sobre el cual es reflexivo, antisimétrico y transitivo, es decir, que satisface para todo $a, b,$ y $c$ en $P$ : $a\le a$ (reflexividad: todo elemento está relacionado consigo mismo); si $a\le b$ y $\le a$ entonces $a = b$ (antisimetría: existe como máximo una relación entre dos elementos distintos); si $\le b$ y $b\le c$ entonces $a\le c$ (transitividad: si un primer elemento está relacionado con un segundo elemento y, a su vez, ese elemento está relacionado con un tercer elemento, entonces el primer elemento está relacionado con el tercer elemento).

Por "fondo" me refiero al menor elemento del conjunto.

Por "cerrado hacia abajo" quiero decir que para cada elemento $x$ en un conjunto $P\subseteq A$ si $y\in A$ y $y\le x$ entonces $y\in P$ .

Por "cadena-completa" me refiero a un poset en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo.

Por "cadena" me refiero a un conjunto en el que para todos los elementos $x,y\in the chain we have either $ x\le y $ or $ y\le x.$

$\operatorname{dc}(P)$ se ordena por inclusión de conjuntos.

Answer 1

Considere una cadena $\mathcal C$ en $\operatorname{dc}(A);$ tenemos que demostrar que $\mathcal C$ tiene un límite superior mínimo en $\operatorname{dc}(A).$

Dejemos que $U=\bigcup\mathcal C,$ la unión de todos los miembros de $\mathcal C.$

Afirmo que $U\in\operatorname{dc}(A),$ es decir, que $U$ está cerrado hacia abajo. Supongamos que $y\in A$ y $y\le x\in U;$ Tengo que demostrar que $y\in U.$ Desde $x\in U=\bigcup U,$ tenemos $x\in P$ para algún conjunto $P\in U.$ Desde $P$ está cerrado hacia abajo, tenemos $y\in P\subseteq U,$ así que $y\in U.$

Claramente, $U=\bigcup\mathcal C$ es el límite superior mínimo de $\mathcal C$ en $\operatorname{dc}(A).$