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Demuestre que el conjunto de todos los subconjuntos cerrados hacia abajo de un conjunto parcialmente ordenado es completo en cadena

¿Cómo puedo demostrar que dado un conjunto parcialmente ordenado (A)(A) con fondo, el conjunto dc(A)dc(A) que contiene todos los subconjuntos de AA que se cierran hacia abajo es completa en cadena?

Por "conjunto parcialmente ordenado" me refiero a un conjunto con una relación de orden parcial sobre el cual es reflexivo, antisimétrico y transitivo, es decir, que satisface para todo a,b,a,b, y cc en PP : aaaa (reflexividad: todo elemento está relacionado consigo mismo); si abab y aa entonces a=ba=b (antisimetría: existe como máximo una relación entre dos elementos distintos); si bb y bcbc entonces acac (transitividad: si un primer elemento está relacionado con un segundo elemento y, a su vez, ese elemento está relacionado con un tercer elemento, entonces el primer elemento está relacionado con el tercer elemento).

Por "fondo" me refiero al menor elemento del conjunto.

Por "cerrado hacia abajo" quiero decir que para cada elemento xx en un conjunto PAPA si yAyA y yxyx entonces yPyP .

Por "cadena-completa" me refiero a un poset en el que cada cadena tiene un límite superior mínimo.

Por "cadena" me refiero a un conjunto en el que para todos los elementos x,ythechainwehaveeitherx,ythechainwehaveeither x\le y oror y\le x.$

dc(P)dc(P) se ordena por inclusión de conjuntos.

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bof Puntos 19273

Considere una cadena C en dc(A); tenemos que demostrar que C tiene un límite superior mínimo en dc(A).

Dejemos que U=C, la unión de todos los miembros de C.

Afirmo que Udc(A), es decir, que U está cerrado hacia abajo. Supongamos que yA y yxU; Tengo que demostrar que yU. Desde xU=U, tenemos xP para algún conjunto PU. Desde P está cerrado hacia abajo, tenemos yPU, así que yU.

Claramente, U=C es el límite superior mínimo de C en dc(A).

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