Demostrando que $1-x \ge \exp{\frac{-x}{1-x}}$

Question

Me gustaría demostrar que $$1-x \ge e^{\frac{-x}{1-x}}, \quad 0 \le x < 1.$$ He intentado demostrar la afirmación anterior utilizando el teorema de Lagrange, pero no he obtenido ningún resultado.

Agradecería mucho cualquier pista o consejo.

Answer 1

Por $1-x=\frac1{1+y}$ con $y\ge 0$ tenemos

$$1-x \ge e^{\frac{-x}{1-x}} \iff \frac1{1+y} \ge e^{-y} \iff e^{y}\ge 1+y$$