Lo siguiente no es un subespacio
$W_6=\{(a_1,a_2,a_3)\in \Bbb R\mid 5a^2_1- 3a^2_2+ 6a^2_3= 0\}$
porque ( $\sqrt{3},\sqrt{5},0)W_6$ y $(0,\sqrt{6},\sqrt{3})W$ pero la suma ( $\sqrt{3},\sqrt{5}+\sqrt{6},\sqrt{3})\notin W_6$ .
Si alguno de vosotros pudiera explicarme cómo se llega a este resultado se lo agradecería mucho. Gracias de antemano por vuestra ayuda. Además, si alguien que sepa cómo podría limpiarlo un poco también sería genial.
Lo que ha escrito muestra que hay dos cosas en $W_6$ cuya suma no está en $W_6$ . Esto debe ocurrir si se trata de un subespacio.
Para responder a "¿cómo se llega a este resultado?" la respuesta es probablemente "la experimentación". Como es obvio que el conjunto contiene el vector cero, y que $\lambda x\in W_6$ si $x\in W_6$ el único axioma que podría fallar es la aditividad.
Impulsado por esto y por la sospecha de que los cuadrados probablemente estropearán la aditividad, uno empezaría a experimentar con los valores que satisfacen la ecuación. Los valores que eligieron son simplemente convenientes para calcular en esa ecuación.
Intenta por tu cuenta encontrar más puntos que demuestren que $W_6$ no está cerrada aditivamente, ¡y probablemente tendrás éxito!
Lo que has escrito dice " $W_6$ es sólo aquellos elementos de $\mathbb{R}$ tal que la ecuación $5\vec{a}_1^2 - 3\vec{a}_2^2 + 6\vec{a}_3^2 = 0$ se mantiene". Lo que está considerando es si el conjunto $W_6$ satisface la definición de subespacio lineal. Esto significa que $\vec{0}$ debe ser un elemento del subespacio (trivialmente, lo es). El conjunto también debe ser cerrado bajo adición vectorial y multiplicación escalar. Lo que has demostrado es que los vectores $(\sqrt{3},\sqrt{5},0)$ y $(0,\sqrt{6},\sqrt{3})$ satisfacen los parámetros del conjunto y, por lo tanto, deben ser elementos del conjunto, pero su combinación lineal no lo hace, lo que indica claramente que el conjunto no es cerrado bajo adición de vectores. Esto significa que el conjunto no satisface la definición de subespacio lineal.
Básicamente, si se toman dos puntos al azar en esta superficie, su suma no estará en la superficie.
Los dos puntos parecen haber sido elegidos como para ser lo más simple posible, por lo que en primer lugar sólo dos coordenadas son distintas de cero (por lo que se necesita que la segunda sea distinta de cero), y luego los valores de las coordenadas están diseñados para hacer los cálculos fáciles, por ejemplo el primer punto está en la superficie como $$ 5 \cdot \sqrt{3}^2 - 3 \cdot \sqrt{5}^{2} = 5 \cdot 3 - 3 \cdot 5 = 0, $$ y de forma similar para el segundo.
En general, cada vez que se tiene una ecuación no lineal cuyo conjunto de soluciones se está considerando, se puede observar que el gradiente de la ecuación no es una dirección constante. Esto es suficiente para demostrar que el conjunto de soluciones no es un subespacio, porque un subespacio debe ser en todas partes ortogonal a un conjunto constante de vectores dado.
Para encontrar puntos no triviales en $W$ se puede jugar con los valores y preguntar: ¿Puede haber puntos no triviales con $a_3=0$ ? Entonces la ecuación se convierte en $5a_1^2-3a_2^2=0$ o $5a_1^2=3a_2^2$ o (suponiendo que $a_2\ne 0$ ) $\frac{a_1^2}{a_2^2}=\frac35$ y después de echar raíces $\left|\frac{a_1}{a_2}\right|=\frac {\sqrt 3}{\sqrt 5}$ . Esto sugiere inmediatamente que se intente $a_1=\sqrt 3$ y $a_2=\sqrt 5$ (y como empezamos con ello $a_3=0$ ).
Obsérvese que al tomar la raíz cuadrada se introducen sistemáticamente los valores absolutos anteriores. Esto nos da la agradable pista de que también $(\sqrt 3,-\sqrt 5,0)\in W$ . Y es mucho más sencillo demostrar que $(\sqrt 3,\sqrt 5,0)+(\sqrt 3,-\sqrt 5,0)\notin W$ que con la suma en el ejemplo dado.
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