Secuencia convergente en el espacio del producto en $\mathbb{R}^{\omega}$

Question

Me confunde el concepto de secuencia convergente en el espacio producto al aprender la Topología de Munkres, sobre todo cuando estoy comparando dos ejercicios relacionados con ella.

El ejercicio 6 de la sección 19 titulado "La topología del producto" considera la secuencia convergente en espacio para productos (su solución puede encontrarse en Convergencia en la topología del producto ) :

Dejemos que $x_1, x_2, \ldots$ sea una secuencia de los puntos del espacio producto $\Pi X_{\alpha}$ . (demuestre que) Esta secuencia converge al punto $x$ si y sólo si la secuencia $\pi_{\alpha}(x_1), \pi_{\alpha}(x_2), \ldots$ converge a $\pi_{\alpha}(x)$ para cada $\alpha$ .

El ejercicio 4(b) de la sección 20 titulado "La topología métrica" considera la secuencia convergente en espacio para productos en $R^{\omega}$ (la pista de su solución se puede encontrar en Convergencia de la secuencia en topologías uniformes y de caja ). Considere, por ejemplo,

la secuencia $w_1 = (1,1,1,1,\ldots), w_2 = (0,2,2,2,\ldots), w_3 = (0,0,3,3,\ldots), \ldots$

El $w$ la secuencia converge al punto "cero", es decir, $0 = (0,0,0,0, \ldots)$ en el espacio del producto en $R^{\omega}$ porque $D(0, w_k) = 1 / k$ y, por lo tanto, cualquier bola $B_{D}(0, \epsilon)$ contiene todos los elementos de la secuencia a partir de un índice suficientemente grande. Además, podemos comprobar que la secuencia $\pi_{\alpha}(w_1), \pi_{\alpha}(w_2), \ldots$ converge a $\pi_{\alpha}(0)$ para cada $\alpha$ .

En otras palabras, para el $w$ la secuencia, se cumple el enunciado del ejercicio 6. Sin embargo, ¿se cumple en general para la secuencia en el espacio del producto en $\mathbb{R}^{\omega}$ ? Formalmente,

El problema: Dejemos que $x_1, x_2, \ldots$ sea una secuencia de los puntos del espacio producto sobre $\mathbb{R}^{\omega}$ . ¿Es cierto que esta secuencia converge al punto $x$ si y sólo si la secuencia $\pi_{\alpha}(x_1), \pi_{\alpha}(x_2), \ldots$ converge a $\pi_{\alpha}(x)$ para cada $\alpha$ ?

Answer 1

Las topologías de producto, uniforme y de caja en $\mathbb{R}^\omega$ son claramente diferentes topologías . Por lo tanto, no es de extrañar que los detalles de convergencia de una secuencia es diferente en estos también. Cuando se habla de la espacio para productos $\mathbb{R}^\omega$ Estamos hablando de este conjunto dotado de la habitual producto topología. Como indica el ejercicio 6 de la sección 19, para cualquier espacio para productos $X = \prod_{\alpha} X_\alpha$ una secuencia $\langle \mathbf{x}_n \rangle_n$ en $X$ converge a $\mathbf{x}$ si para cada $\alpha$ la secuencia $\langle \pi_\alpha ( \mathbf{x}_n ) \rangle_n$ converge a $\pi_\alpha ( \mathbf{x} )$ en $X_\alpha$ . Sin embargo, si usted dota $X$ con un diferente topología el mismo resultado no se mantendrá.

Hay dos cosas que puede tomar la forma de este resultado: Sea $X = \prod_{\alpha} X_\alpha$ (como conjunto), dejemos que $\langle \mathbf{x}_n \rangle_n$ sea una secuencia en $X$ y $\mathbf{x} \in X$ . Entonces

• si $X$ se le da una topología Más grueso que la topología del producto, entonces si para cada $\alpha$ la secuencia $\langle \pi_\alpha ( \mathbf{x}_n ) \rangle_n$ converge a $\pi_\alpha ( \mathbf{x} )$ en $X_\alpha$ se deduce que $\langle \mathbf{x}_n \rangle_n$ converge a $\mathbf{x}$ .

• si $X$ se le da una topología Más fino que la topología del producto, entonces si $\langle \mathbf{x}_n \rangle_n$ converge a $\mathbf{x}$ se deduce que para cada $\alpha$ la secuencia $\langle \pi_\alpha ( \mathbf{x}_n ) \rangle_n$ converge a $\pi_\alpha ( \mathbf{x} )$ en $X_\alpha$ .

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Pero esto es cierto en general: la convergencia de una secuencia dada depende de la topología, y la misma secuencia puede converger en una topología, y no en otra (o incluso a un límite diferente).

Como ejemplo más básico, consideremos $\mathbb{R}$ con la topología métrica habitual, y también con la topología de límite inferior (o de Sorgenfrey): denotemos ese espacio por $\mathbb{R}_{\text{S}}$ . Como sabemos, en $\mathbb{R}$ una secuencia $\langle x_n \rangle_n$ converge a $x$ si para cada $\epsilon > 0$ hay un $N $ tal que $| x_n - x | < \epsilon$ para todos $n \geq N$ . Sin embargo, en $\mathbb{R}_{\text{S}}$ La convergencia de las secuencias es diferente:

una secuencia $\langle x_n \rangle_n$ converge en $\mathbb{R}_{\text{S}}$ a $x$ si para cada $\epsilon > 0$ hay un $N $ tal que $x \leq x_n < \epsilon$ para todos $n \geq N$ .

En particular, la secuencia $\langle 1 - \frac{1}{n} \rangle_n$ converge (a $1$ ) en $\mathbb{R}$ pero no es convergente en $\mathbb{R}_{\text{S}}$ . ( $[1,2)$ es una vecindad abierta de $1$ en $\mathbb{R}_{\text{S}}$ que no contiene ningún miembro de esta secuencia).

Answer 2

Sí, porque la topología métrica en $\mathbb{R}^w$ (como se define en el teorema 9.5 de Munkress, capítulo II) concuerda con la topología del producto, como se demuestra en el teorema mencionado.