Existe una solución analítica a $\int_1^\infty \frac {dx}{\prod_{i=0}^n (x+i)}$

Question

En un problema de física, tengo que lidiar con este aparentemente simple función $$I_n=n! \int_1^\infty \frac {dx}{\prod_{i=0}^n (x+i)}$$ $(n\geq 1)$, the result of which being, for sure, something like $\log\left(\frac {p_n}{q_n}\right)$ where $p_n,q_n$ are whole numbers which become to be very large even for small values of $n$ (e.g : $p_5=67108864$, $q_5=61509375$).

Para cualquier particular $n$, el valor de $I_n$ puede ser exactamente calculada (parcial fracción de descomposición) pero necesito exacta (o mejor, exacto) de los resultados para valores grandes de a $n$.

En el pasado, alguien propone como una primera aproximación $$I_n\approx\frac{0.694}{n^{1.285}}$$ which I have been able to reproduce almost exactly curve fitting the values for $1\leq n \leq 20$. But this is too inaccurate for my application. For example, the above formula would give $I_{100}\approx 0.001868$ for an exact value $\aprox 0.002011$.

Alguien tiene una idea, ya sea para una solución exacta (probablemente un reccurence relación ?) o un mucho mejor aproximación ?

Gracias de antemano.

Editar

Gracias a heropup la solución exacta y Winther del trabajo de todo el asymtotics $$I_n = \frac{1}{n\log(n)}\left[1 - \frac{\gamma}{\log(n)} + \frac{\gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}}{\log^2(n)} + \frac{\psi ^{(2)}(1)-\gamma ^3-\frac{\gamma \pi ^2}{2}}{\log^3(n)} + \cdots \right] $$ increíble progreso que se ha hecho.

Doy a continuación un par de números de la ilustración $$\left( \begin{array}{ccc} n & \text{exact} & \text{approx} \\ 100 & 0.00201125049 & 0.00198077851 \\ 200 & 0.00088234568 & 0.00087283768 \\ 300 & 0.00054857248 & 0.00054365188 \\ 400 & 0.00039259469 & 0.00038949113 \\ 500 & 0.00030329103 & 0.00030111383 \\ 600 & 0.00024583983 & 0.00024420737 \\ 700 & 0.00020596177 & 0.00020468064 \\ 800 & 0.00017675824 & 0.00017571890 \\ 900 & 0.00015450281 & 0.00015363806 \\ 1000 & 0.00013701199 & 0.00013627810 \end{array} \right)$$

Utilizando los valores exactos para $100 \leq n \leq 1500$ (paso de $\Delta n=50$) y la realización de una regresión lineal basado en el modelo sugerido $$I_n\approx \frac{1}{n\log(n)} \sum_0^3\frac {a_i}{\log^i(n)}$$ conduce a $$\begin{array}{clclclclc} \text{} & \text{Estimate} & \text{Standard Error} & \text{Confidence Interval} \\ a_0 & +0.99283 & 0.0005 & \{+0.992,+0.994\} \\ a_1 & -0.48997 & 0.0076 & \{-0.506,-0.474\} \\ a_2 & +1.82615 & 0.0418 & \{+1.740,+1.912\} \\ a_3 & -4.52490 & 0.0755 & \{-4.681,-4.369\} \\ \end{array}$$ giving a maximum absolute error $<10^{-8}$. Esto ya es un increíblemente buen ajuste.

Answer 1

Es relativamente sencillo demostrar que para enteros positivos $n$, $$f_n(x) = B(x,n+1) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)} = \frac{1}{x\binom{x+n}{n}} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k \binom{n}{k}}{x+k}.$$ Consequently, $$\int_{x=1}^\infty f_n(x) \, dx = \lim_{x \to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \left(\log (x+k) - \log(1+k)\right).$$ The limit for the upper endpoint terms of course is zero; this leaves us with $$\int_{x=1}^\infty f_n(x) \, dx = \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} \binom{n}{k} \log (1+k).$$ From here we could start to do things with even and odd cases of $n$. I haven't the time to look at large $$ n asymptotics pero no debería ser difícil.